Obliczenia kwantowe - postulaty QM

Właśnie zacząłem (niezależne) uczenie się ogólnie o obliczeniach kwantowych z książki Nielsen-Chuang.

Chciałem zapytać, czy ktokolwiek mógłby spróbować znaleźć czas, aby pomóc mi w tym, co się dzieje z postulatem pomiaru mechaniki kwantowej. To znaczy, nie próbuję kwestionować postulatu; po prostu nie rozumiem, w jaki sposób wartość stanu układu po pomiarze wychodzi do $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ .

Chociaż wydaje się, że to właśnie mówi postulat, wydaje mi się, że to naprawdę dziwne, dlaczego to jest to wyrażenie. Nie wiem, czy to, o co tutaj pytam, ma sens, ale okazuje się, że z jakiegoś powodu wydaje mi się, że nie mogę dalej czytać,

Nie wiem, czy to „wyjaśnienie”, ale mam nadzieję, że jest to użyteczny „opis”.

Bardziej ogólnie niż pomiary projekcyjne, zawsze dokonuje się pomiaru operatora . (Projektor jest tego szczególnym przypadkiem.) Co to znaczy „zmierzyć operatora”?

Operatorzy często odpowiadają „obserwowalnym” wielkościom fizycznym. Na przykład najważniejsze w mechanice kwantowej jest energia; ale można też (czasem pośrednio) pomiar innych wielkości, takie jak pędu, Z -components pól magnetycznych itp Co jest mierzona zawsze daje o wartościach rzeczywistych wyników --- w zasadzie pewien określony rezultat (np elektron jest w stanie „spin +1/2” w przeciwieństwie do „spin –1/2” lub w pierwszym wzbudzonym poziomie energii w przeciwieństwie do stanu podstawowego w atomie wodoru itp.), aczkolwiek każdy z możliwych wyników z góry jest realizowane z pewnym prawdopodobieństwem.

Każdy z wyników pomiaru o wartościach rzeczywistych przypisujemy do podprzestrzeni. Sposób, w jaki to robimy, to opisanie operatora hermitowskiego --- tj. Operatora, który przypisuje prawdziwą wartość własną do różnych podprzestrzeni, z podprzestrzeniami sumującymi się do całej przestrzeni Hilberta. Projektor jest takim operatorem, w którym rzeczywistymi wartościami są 0 i 1; tzn. opisujący, że wektor należy do wyznaczonej podprzestrzeni (uzyskując wartość 1) lub jej ortokomplementu (uzyskując wartość 0). Te operatory hermitowskie są obserwowalne , a przestrzenie własne to te, dla których obserwowalne ma „określoną” wartość.

Ale co z wektorami, które nie są wektorami własnymi i nie mają „określonych” wartości dla tych obserwowalnych? Oto nie wyjaśniająca część opisu: projektujemy je w jedną z przestrzeni własnych, aby uzyskać wektor własny o ściśle określonej wartości. Która projekcja, którą zastosujemy, jest ustalana losowo. Rozkład prawdopodobieństwa wynika z dobrze znanej reguły Borna:

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

gdzie jest rzutnikiem na c -e przestrzeń własną „obserwowalnej wielkości” E (reprezentowanej przez operator hermitowski A = ∑ $\Pi_c$ ). Stan po zmierzeniu jestpewnąprojekcją stanu | * F ⟩ najakimśeigenspace obserwowalnegoA. A więc jeśli | ψ 0 ⟩ jest stan pre-pomiarowa, | ψ 1 ⟩ jest stan po zakończeniu pomiarów, i Π C jest „wynik rzeczywisty” pomiarowych (czylieigenspace na którym stan wstępnego pomiaru faktycznie przewiduje) mieli wynik proporcjonalności$A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

przez właśnie opisaną zasadę projekcji. Właśnie dlatego w twojej formule jest projektor.

Ogólnie wektor nie jest wektorem jednostkowym; ponieważ chcemy opisać stan po pomiarze innym wektorem jednostkowym, musimy go przeskalować o$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

który jest pierwiastkiem kwadratowym prawdopodobieństwa, z jakim wynik wystąpiłby a priori . Odzyskujemy formułę z twojego pytania,

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(Jeśli ta formuła wydaje się nieco niezdarna, weź pod uwagę, że wygląda i czuje się trochę lepiej, jeśli reprezentujesz stany kwantowe przez operatory gęstości.)

Edytowane w celu dodania: powyższego nie należy interpretować jako opisu POVM. A „pozytywnym operatorem o wartości pomiar” jest lepiej widoczne opisywanie wartość oczekiwaną na różne mierzalne obserwable e _C w zbiorze {  e _c  } _{c  ∈ C}  .

Podam jeszcze jedną odpowiedź na pytanie Akash Kumar, a mianowicie, że (szczególnie dla studentów) dobrym podejściem do zmagania się z tajemnicami mechaniki kwantowej jest najpierw zmierzenie się z tajemnicami mechaniki klasycznej.

W związku z tym zalecanym podręcznikiem początkowym (dostępnym w miękkiej oprawie) jest Stephanie Frank Singer „Symetria w mechanice: delikatne nowoczesne wprowadzenie” ... która ma tę zaletę, że jest krótka i jasna (w tym 120 problemów zadziałało wyraźnie), a mimo to z pewnością obejmuje główne współczesne idee geometrii symplektycznej i teorii grup Liego.

Tutaj chodzi o to, że na początku XX wieku mechanika kwantowa i mechanika klasyczna wydawały się dwiema bardzo różnymi teoriami dynamiki. Ale jeśli weźmiemy na poważnie maksymę Vladimira Arnolda, że ​​„mechanika hamiltonowska to geometria w przestrzeni fazowej; przestrzeń fazowa ma strukturę rozmaitości symplektycznej”, i poważnie traktujemy również maksymę Ashtekara / Schillinga, że ​​„struktura liniowa, która jest na czele podręcznikowe zabiegi mechaniki kwantowej to przede wszystkim wygoda techniczna i niezbędne składniki --- różnorodność stanów, struktura symplektyczna i metryka Riemanniana --- nie podzielają tej liniowości ", wtedy dochodzimy do lepszego docenienie, że teza Troya Schillinga z 1996 r. opiera się na mocnych podstawach matematycznych w twierdzeniu, że „

To ujednolicone geometryczne podejście do dynamiki klasycznej / kwantowej odnosi sukces głównie dzięki temu, że mechanika klasyczna wydaje się bardziej tajemnicza, a mechanika kwantowa wydaje się mniej tajemnicza ... i dobrze jest, aby uczniowie wiedzieli, że jest to jedno z wielu realnych podejść do uczenia się obu rodzajów mechanika.

Jeśli jeszcze ich nie widziałeś, gorąco polecam notatki z wykładu Scotta Aaronsona „Obliczenia kwantowe od czasu demokracji” , zwłaszcza wykład 9 . Naprawdę pomogli mi jako nie-ekspertowi, a ja starałem się wyjaśnić jego prezentację do głównych punktów tutaj i tutaj .

Jeśli chodzi o twoje konkretne zapytanie, myślę, że pomaga budować intuicję, jeśli potrafisz obliczyć kilka prostych przykładów przy użyciu reguły Born i zobaczyć, jak postulat pomiaru działa w praktyce.

Uznałem, że najłatwiej jest pomyśleć jako: „Prawdopodobieństwo zmierzenia i-tego wyniku jest kwadratem amplitudy i-tego elementu wektora stanu - jeśli zmienisz podstawę na wektory własne operatora”.

Jest to również ściśle powiązane z intuicją, że mechanika kwantowa jest prawdopodobieństwem przy liczbach zespolonych - ponieważ kwadraty amplitud muszą sumować się do 1.

Tak długo, jak studiujesz informatykę kwantową, możesz również chcieć sprawdzić tę dyskusję na temat algorytmu Shora .

Uzupełnienie.

Po ponownym rozważeniu formy twojego pytania ( np . M ^† M w mianowniku - w przeciwieństwie na przykład do pojedynczego operatora M, co wystarcza dla projektorów) i ponownej konsultacji z moją kopią Nielsena i Chaunga, oto kilka dodatkowych szczegółów nie ujęte w mojej poprzedniej odpowiedzi. (Publikuję to jako osobną odpowiedź ze względu na długość i ponieważ uważam, że jest to jeszcze mniej „wyjaśnienie” niż moja poprzednia odpowiedź).

Załóżmy, że naszym jedynym środkiem pomiaru qubit X jest pośredni: przez „słaby” interakcji z ancilla A , a następnie przez pomiar na A . Chcielibyśmy, aby móc mówić o nich jako w pewnym sensie sposobem pomiaru X . Jak możemy opisać taki pomiar w kategoriach samego X ? Cóż: załóżmy, że możemy łatwo przygotować A w stanie początkowym i przeprowadzić kontrolowane jednostkowe z następujących sortowania z X jako kontrolna, a A jako cel:$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

Następnie mierzymy A w standardzie (tak, że A przechowuje teraz wynik pomiaru). Przekształca to stan X w następujący sposób:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$$|1\rangle$

$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Uwagi ogólne.

$M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

$M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

Myślenie o pomiarach w kategoriach operatorów Kraus (oraz w kategoriach „rejestru wyników pomiarów” A jak wyżej) w ten sposób pozwala na przyjęcie pojęcia pomiaru do mapy CPTP, co mi się podoba. (Nie zmienia to jednak rzeczy z analitycznego punktu widzenia i nie należy się tym martwić, jeśli nie czujesz się dobrze z mapami CPTP).

Odpowiedź Niel de Beaudrap na temat Kraus Operators była bardzo dobra. W odniesieniu do podręcznika Nielsena i Chuanga oznacza to, że należy przeczytać rozdział 2, następnie rozdział 8, a następnie kolejne rozdziały.

Ponadto reprezentacja operatora Krausa ma nieskończenie mały limit zwany operatorem Lindbladiana; ogólnie mówiąc, operatorzy Lindbladian są dla operatorów Kraus czym algebra Lie jest dla grupy Lie. Notatki on-line Carltona Cavesa: „Całkowicie pozytywne mapy, pozytywne mapy i forma Lindblada” obejmują większość tego materiału.

Zaletą pracy wyłącznie z nieskończenie małymi operatorami Lindbladiana zamiast operatorów Krausa jest to, że Lindbladianie naturalnie wycofują się do kwantowych przestrzeni stanów niebędących Hilbertem; obejmują one przestrzenie stanów sieci tensorowej, które stają się wszechobecne w chemii kwantowej i fizyce materii skondensowanej; ponadto techniki wycofywania są również powszechne w teorii strun.

Obecnie nie ma podręcznika, który rozwijałby ten geometryczny, niehilbertowski opis dynamiki kwantowej ... ale powinien być! Podręczniki, które (wraz z powyższymi odniesieniami) obejmują wszystkie główne idee, to John Lee „Smooth Manifolds”, Frenkel i Smit „Understanding Molecular Simulation: od Algorytmy do aplikacji” oraz Kloeden i Platen „Numeryczne rozwiązanie stochastycznych równań różniczkowych”.

To prawda, że ​​to dużo czytania ... i dlatego geometrycznej dynamiki kwantowej nie uczy się na poziomie licencjackim. Szkoda, ponieważ studentom zbyt łatwo jest zdobyć ustalone przekonanie, że przestrzeń stanu kwantowych układów dynamicznych jest liniową przestrzenią wektorową, chociaż nie jest to prawdą w większości praktycznych obliczeń na dużą skalę.

Jeśli chodzi o przestrzeń państwową, z której korzysta Natura: nikt nie wie - eksperymentalne dowody na lokalną (styczną w przestrzeni) kwantową liniowość są dość silne, ale dowody na globalną (Hilberta-przestrzeń) kwantową liniowość są dość słabe. W szczególności bardzo precyzyjne eksperymenty z dynamiką kwantową wiązki molekularnej - które wiele podręczników przedstawia jako dowód liniowej kwantowości - można symulować z wymaganą względną precyzją wynoszącą ~ 1/2 ^ {65} w małych przestrzeniach stanów sieci tensorowej, z niemal idealną dynamiczną symplektycznością zastępującą niemal idealną liniową dynamikę.

Z powyższych powodów być może studenci XXI wieku nie powinni przyjmować podręczników XX wieku całkowicie w wartości nominalnej. Ale tak naprawdę, jaki student 21 wieku chciałby tego inaczej?

Powyżej jest, w jaki sposób inżynierowie systemów kwantowych przyjęli zestaw narzędzi matematycznych, który łączy naturę geometryczną i algebraiczną i ogólnie stosuje się do klasycznych, kwantowych i hybrydowych układów dynamicznych.

---

Edytuj dodatek: Jako test wykonalności geometrycznego podejścia do praktycznej symulacji kwantowej, nasza Grupa Inżynierii Systemów Kwantowych (QSE) uzupełniła klasyczny podręcznik Charliego Slichtera Zasady rezonansu magnetycznego o ulepszoną wersję rozdziału 3 „ Rozszerzanie magnetycznego dipolarnego transportu i polaryzacji w Sztywne kraty ".

Ta transkrypcja geometryczna w naturalny sposób wskazuje na wiele otwartych pytań dotyczących dynamiki geometrycznej; patrz na przykład pytanie MathOverflow „ W symulacji kwantowej dynamiki, jaki jest symetryczny (Riemannian) analog nawias Poissona? ”

Po pierwsze, dlaczego obserwowalne są reprezentowane przez operatorów? W mechanice klasycznej obserwowalna jest cenną funkcją w przestrzeni fazowej. Wyodrębnia informacje o wartościach takich jak energia lub pęd z systemu, ale nie wpływa na nie ani go nie zakłóca. Jeśli obserwator jest częścią systemu, pomiar jest procesem fizycznym i może zmienić ewolucję systemu. Aby skończona, nieskończenie mała ewolucja czasu była jednolita (tj. Zachować całkowite prawdopodobieństwo), nieskończenie mała ewolucja czasu musi być hermitowska. To jest twierdzenie Stone'a; wyjaśnia, dlaczego operatorzy mechaniki kwantowej są hermitami.

$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• $M$$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• $\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$. Dzielenie przez pierwiastek kwadratowy normalizuje stan.

Zamierzam przedstawić kilka dodatkowych odniesień związanych z pytaniem Akash Kumar dotyczącym postulatów kwantowych, aby zachęcić studentów do nauki matematyki, której potrzebują, aby docenić wiele dobrze opracowanych ram do badania dynamiki klasycznej i kwantowej.

Zacznijmy od miejsca, w którym kończy się tekst Nielsen-Chuang, a mianowicie „Twierdzenie: Unitary Freedom in the Operator-Sum Representation” (sekcja 8.2 Nielsen-Chuang). Tekst Nielsena i Chuanga zauważa, że ​​jedno praktyczne zastosowanie tego twierdzenia pojawiło się w teorii kwantowej korekcji błędów, w której „była kluczowa dla dobrego zrozumienia kwantowej korekcji błędów”. Ale potem tekst Nielsen-Chuang milczy.

Odpowiedzi udzielone (do tej pory) tutaj na Stack Exchange niewiele pomagają w zrozumieniu tej „jednolitej wolności” ... która, jak się okazuje, jest kluczowa dla wszystkich aspektów mechaniki kwantowej związanej z tym, co Einstein i Bohr nazywali „spukhafte Fernwirkungen” (upiorne działanie na odległość) mechaniki kwantowej. W szczególności ta jednostkowa swoboda jest kluczem do odczytu kwantowego, kwantowej korekcji błędów i kwantowej kryptograpy - trzech głównych powodów, dla których studenci TCS studiują dynamikę kwantową.

Aby dowiedzieć się więcej, co powinien przeczytać uczeń? Istnieje wiele opcji (a inne mogą mieć własne preferencje), ale polecę Howarda Carmichaela „Metody statystyczne w optyce kwantowej: pola nieklasyczne”, w szczególności rozdział 17-19, zatytułowany „Trajektorie kwantowe I- III ”.

W tych trzech rozdziałach tekst Carmichaela fizycznie motywuje to, co tekst Nielsena-Chuanga koduje jako formalne postulaty i twierdzenia, a mianowicie naszą swobodę „rozplątywania” pomiarów projekcyjnych (także pomiarów nie rzutowych) na różne sposoby. Fizycznie ta wolność gwarantuje, że żyjemy w przyczynowo oddzielnym wszechświecie, matematycznie ta wolność jest podstawą wszelkiej kryptografii kwantowej i korekcji błędów.

AFACIT, to sam Carmichael wymyślił w 1993 r. Standardowe określenie „rozwikłać”, aby opisać tę informatyczną niezmienność. Od tego czasu literatura odkrywcza ogromnie się powiększyła: przeszukiwanie całego tekstu serwera arxiv w poszukiwaniu „kwantowych” i „odkrywających” znalezisk 762 rękopisów; wariant pisowni „rozwikłanie” znajduje 612 kolejnych manuskryptów (prawdopodobnie z pewnymi duplikatami).

Oczywiście uczenie się zestawu narzędzi matematycznych i fizycznych pomysłów związanych z rozwikłaniem kwantowym to dużo pracy. Uzasadnione jest pytanie, jakich korzyści uczniowie mogą się spodziewać w zamian za ciężką pracę? W odpowiedzi znajduje się przypowieść o jednym akapicie, której główną zaletą jest to, że jest ona znacznie krótsza niż czytanie dwóch bardzo długich, trudnych tekstów kwantowych (Nielsen-Chuang i Carmichael).

Pewnego razu studentka geometrii euklidesowej o imieniu Alice zadała sobie pytanie „Jak naprawdę działa pomiar długości euklidesowej?” Postulaty euklidesowe odpowiedziały na pytanie Alicji w następujący sposób: „Wszystkie fizyczne pomiary długości są równoważne pomiarom z kompasem, którego model matematyczny jest segmentem linii liczbowej”. Jednak dzięki ogromnemu wysiłkowi twórczej wyobraźni Alicja wymyśliła równoważną, ale bardziej ogólną odpowiedź: „Wszystkie fizyczne pomiary długości są równoważne całkowaniu prędkości wzdłuż trajektorii, których model matematyczny jest krzywymi na rozmaitościach wyposażonych w formy symetryczne i metryczne oraz potencjały dynamiczne . ” Nieeukucydowskie ramy Alicji dotyczące dynamiki klasycznej wymagały dużo pracy, ale otworzyły się dla niej nowe światy nauki, technologii,

Aby wyjaśnić sens przypowieści, Alice przyjęła zróżnicowany opis klasycznej dynamiki, a tym samym uwolniła się od sztywnych ograniczeń przestrzeni euklidesowej. Podobnie dzisiejsi studenci kwantowi mają możliwość przyjęcia zróżnicowanego opisu dynamiki rozplątywania, a tym samym uwolnienia się od sztywnych ograniczeń przestrzeni Hilberta.

Podobnie jak w przypadku klasycznej dynamiki innej niż euklidesowa, dynamiki kwantowej innej niż Hilbert wymaga wiele pracy --- obecnie nie ma jednego podręcznika, który obejmowałby cały wymagany materiał --- a jednak te nowe nie-euklidesowe / inne niż Hilbert dynamiczne ramy otwierają ogromne nowe światy do eksploracji. Te badania rozciągają się od tajemnic teorii strun do trudnych wyzwań związanych z pisaniem wydajnych, zwalidowanych kodów symulacji kwantowych w chemii i materiałoznawstwie. Oczywiste jest, że badania w dowolnym z tych obszarów wymagają już od studentów głębszej niż w przypadku Euklidesa oceny klasycznej dynamiki, a także głębszej niż Hilbert oceny dynamiki kwantowej.

Właśnie dlatego wyzwania matematyczne i możliwości badawcze związane zarówno z dynamiką klasyczną, jak i kwantową nigdy nie były większe niż obecnie. Który jest dobry!