Wymiar VC kulek w 3 wymiarach

Szukam wymiaru VC następującego zestawu układów.

Wszechświat $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ takie, że $U\subseteq \mathbb{R}^3$. W ustawionym systemie$\mathcal{R}$ każdy zestaw $S\in \mathcal{R}$ odpowiada kuli w $\mathbb{R}^3$ tak, że zestaw $S$ zawiera element w $U$ tylko wtedy, gdy zawiera odpowiednią kulę $\mathbb{R}^3$.

Szczegóły, które już znam.

1. Wymiar VC jest co najmniej 4. Jest tak, ponieważ if $p_1,p_2,p_3,p_4$ są 4 rogi czworościanu, po czym można je rozbić $\mathcal{R}$

2. Wymiar VC to atmost 5. Dzieje się tak, ponieważ można ustawić system zestawu $\mathcal{R}^4$ z kulkami w $\mathcal{R}^3$ odpowiadające hiperpłaszczyznom w $\mathcal{R}^4$. Wiadomo, że hiperplany w$\mathcal{R}^d$ mieć wymiar VC $d+1$.

Oto prosty argument:

Załóżmy, że istnieje zestaw $U$z 5 punktów, które mogą zostać rozbite przez kule. Tak dla każdego zestawu$S \subseteq U$, istnieje piłka $B$ św $B \cap U = S$ i piłka $B'$ św $B' \cap U = U \setminus S$. W związku z tym,$B \cap B'$ nie zawiera punktów $U$. Gdyby$B \cap B' = \emptyset$, $B$ i $B'$można oddzielić samolotem. W przeciwnym razie przecięcie powierzchni$B$ i $B'$jest kołem. Płaszczyzna, w której leży koło, oddziela się$S$ od $U \setminus S$. W związku z tym,$U$ może zostać rozbita przez półprzestrzenie, sprzeczność.

Ten sam argument w wyższym wymiarze pokazuje, że wymiar VC kulek jest równy wymiarowi VC półprzestrzeni.

Moje rozwiązanie jest nieprawidłowe. Zobacz inną odpowiedź ...