Czy para rozłącznych cykli homotopowych w podwójnym rozdziela wykres?

Pozwolić $G$ być wykresem osadzonym na orientowanej, zwartej powierzchni rodzaju $g$tak aby osadzanie było komórkowe. Rozważ podwójność wykresu$G^*$. Pozwolić$C_1$ i $C_2$ być rozłącznymi cyklami w $G^*$ które są homotopiczne względem siebie i niech $E_1$ i $E_2$ być ich odpowiednimi zestawami krawędzi w $G$odpowiednio. Jest$G \setminus (E_1 \cup E_2)$ odłączony wykres?

Tak. Pozwól mi napisać$\Sigma$ na powierzchnię, na której $G$ i $G^*$ są osadzone.

Ponieważ cykle $C_1$ i $C_2$ są homotopiczne, są też takie same $\mathbb{Z}_2$-Homologia. Zatem z definicji różnica symetryczna$C_1\oplus C_2$ jest granicą związku jakiegoś podzbioru twarzy $G^*$; nazwij to połączenie twarzy$U$. (W rzeczywistości albo$U$ lub jego uzupełnienie $\Sigma\setminus U$ to musi być pierścień, ale to nie jest ważne).

Ponieważ $C_1$ i $C_2$ są rozłączne, różnica symetryczna $C_1\oplus C_2$ jest równy związkowi $C_1\cup C_2$. W szczególności mamy$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$, co oznacza, że ​​oba $U$ i jego uzupełnienie $\Sigma\setminus U$są niepuste. Innymi słowy, podpowierzchnia$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ jest odłączony.

Każda ścieżka do $G$ może być postrzegane jako ścieżka w $\Sigma$ co pozwala uniknąć wierzchołków $G^*$i vice versa (do homotopii). Tak więc (wykres) składników$G\setminus (E_1\cup E_2)$ odpowiadają biotycznie składnikom (powierzchniowym) $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$. Wnioskujemy o tym$G\setminus (E_1\cup E_2)$ jest odłączony.

Założenie, że $\Sigma$ jest orientowalny, nigdy nie jest używany.