Jaka jest dokładnie różnica semantyczna między kategorią a zbiorem?

11

W tym pytaniu zapytałem, jaka jest różnica między zestawem a typem . Odpowiedzi te były bardzo precyzyjne (np. @AndrejBauer), dlatego w pogoni za wiedzą poddaję się pokusie zadawania tego samego o kategorie:

Za każdym razem, gdy czytam o teorii kategorii (co wprawdzie jest raczej nieformalne), nie mogę naprawdę zrozumieć, czym różni się ona od teorii mnogości, konkretnie .

Więc w jak najbardziej konkretny sposób, co dokładnie oznacza, że $x$ mówi, że należy do kategorii , w porównaniu do powiedzenia, że ? (np. jaka jest różnica między powiedzeniem jest grupą, a stwierdzeniem, że należy do kategorii ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Możesz wybrać dowolną kategorię i zestaw, dzięki czemu porównanie będzie najbardziej klarowne).

sets category-theory

— użytkownik56834
źródło

Nie jestem pewien, czy to pytanie jest dobrze sformułowane. Najpierw pytasz, jaka jest różnica między stwierdzeniem, że „x jest w kategorii C”, a „x jest w zestawie S”. Ale podajesz przykład pytania „x jest w kategorii Grp” vs „x to grupa”. Co? To nie jest przykład twojego pytania. Przykładem twojego pytania jest pytanie, jaka jest różnica między „x jest w kategorii Grp”, a „x jest w zbiorze wszystkich grup”. Ale nawet wtedy tak naprawdę nie pytasz, czy pytasz o różnice między kategoriami i zestawami.

— Miles Rout

11

W skrócie, teoria zbiorów dotyczy członkostwa, podczas gdy teoria kategorii dotyczy transformacji zachowujących strukturę.

Teoria zbiorów dotyczy tylko członkostwa (tj. Bycia elementem) i tego, co można wyrazić w ten sposób (np. Bycie podzbiorem). Nie dotyczy żadnych innych właściwości elementów lub zestawów.

Teoria kategorii jest sposobem na rozmowę o tym, w jaki sposób struktury matematyczne danego typu ¹ mogą zostać przekształcone w siebie ^{2 za} pomocą funkcji, które zachowują pewien aspekt ich struktury; zapewnia jednolity język do mówienia o szerokim zakresie typów ¹ struktury matematycznej (grupy, automaty, przestrzenie wektorowe, zbiory, przestrzenie topologiczne,… a nawet kategorie!) oraz odwzorowania w tych typach ¹ . Chociaż formalizuje właściwości odwzorowań między strukturami (tak naprawdę: między zbiorami, na które nałożona jest struktura), zajmuje się jedynie abstrakcyjnymi właściwościami map i struktur, nazywając je morfizmami (lub strzałkami ) i obiektami; elementy takich zbiorów strukturalnych nie są przedmiotem teorii kategorii, podobnie jak struktury tych zbiorów. Pytasz „ co to jest teoria ”; jest to teoria mapowania zachowującego strukturę obiektów matematycznych dowolnego typu ¹ .

Teoria kategorii abstrakcyjnych ³ , jak już wspomniano, całkowicie ignoruje zbiory, operacje, relacje i aksjomaty określające strukturę przedmiotowych obiektów, a jedynie zapewnia język, w którym można mówić o tym, w jaki sposób mapowania zachowują pewną taką strukturę zachowuj się: nie wiedząc, jaka struktura jest zachowana, wiemy, że połączenie dwóch takich map zachowuje również strukturę. Z tego powodu aksjomaty teorii kategorii wymagają, aby istniało asocjacyjne prawo kompozycji dotyczące morfizmów i podobnie, aby istniał morfizm tożsamości od każdego obiektu do siebie. Ale nie zakłada się, że morfizmy faktycznie są funkcjami między zbiorami, tylko że zachowują się tak jak one.

Do wypracowania: Konkretne kategorie modelują pomysł dodania struktury do obiektów „kategorii podstawowej”; gdy jest to , możemy mieć sytuację, w której dodajemy strukturę jak operację grupową do zbioru. W takim przypadku można powiedzieć więcej o tym, jak struktura jest dodawana w odniesieniu do konkretnej kategorii podstawowej. $\mathsf{Set}$

Co do implikacji twoich sformułowań , mówiąc, że „ jest grupą”, że „ jest elementem zbioru grup” (właściwie właściwej klasy ) lub że „ jest (przedmiotem) w ” ( lub „obiekt ”) logicznie oznacza to samo, ale mówienie o kategorii sugeruje, że interesuje Cię homomorfizm grupowy (morfizmy w ) i być może to, co mają wspólnego z innymi morfizmami. Z drugiej strony, mówiąc $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ oznacza, że grupa może sugerować, że interesuje Cię sama struktura grupy (jej operacja mnożenia) lub może to, w jaki sposób grupa działa na jakiś inny obiekt matematyczny. Jest mało prawdopodobne, aby mówić o należącym do zestawu grup, choć można łatwo napisać dla określonego zestawu grup, którymi jesteś zainteresowany. $G$ $G ∈ S$ $S$

Zobacz też

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- W szczególności /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Kategorie abstrakcyjne i konkretne: Radość kotów Adámka, Herrlicha i Streckera
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Tutaj i passim nie mówię o typie w sensie teorii typów, ale raczej o zestawie właściwości wymaganych od obiektów / struktur matematycznych, tj. O zestawie aksjomatów, które spełniają. Zwykle opisują one zachowanie niektórych operacji lub relacji na elementach zbiorów uważanych za przenoszące strukturę, chociaż w przypadku samych zbiorów ( ) nie ma żadnej struktury poza samymi zestawami. W każdym razie, jak wspomniano powyżej, teoria kategorii ignoruje szczegóły tej struktury. $\mathsf{Set}$}

² _{należy może mówić do wszystkich lub części od siebie : jeden umożliwia homomorfizm z (całkowite) do (wymiernych) zawartych w $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Bez kwalifikacji „ kategoria ” zwykle oznacza „kategorię abstrakcyjną”, wprowadzoną, o ile widzę, w 1945 r. I rozwiniętą w latach 60. XX wieku, podczas gdy kategorie konkretne wydają się pojawiać w latach siedemdziesiątych.}

— PJTraill
źródło

Nie jestem pewien, czy było to retoryczne, ale zdecydowanie istnieje odpowiednia klasa grup. Na przykład, każdy zestaw tworzy trywialną grupę w zestawie singletonów zawierającym ten zestaw. Możesz także stworzyć odpowiednią klasę nieizomorficznych przykładów.

— Derek Elkins opuścił SE

Dziękuję Ci. Kiedy mówisz: „jest to teoria mapowania zachowującego strukturę obiektów matematycznych dowolnego typu ”, czy masz na myśli „typ” w sensie teorii typów, czy bardziej nieformalnie?

— user56834

@ Programmer2134: Przepraszam, jeśli typ był mylący (zastanawiałem się); Nie mam na myśli odwoływania się do teorii typów (o których niewiele wiem), ale raczej matematyczne obiekty / struktury o pewnym zestawie właściwości (tj. Spełniające określone aksjomaty) przez matematyczne obiekty / struktury danego typu .

— PJTraill

To wyjaśnia. Czy więc teoria kategorii również zakłada, że istnieją takie aksjomaty i że wszystkie te obiekty spełniają te aksjomaty, czy też jest to jedynie meta kryterium, którego używamy do definiowania kategorii (tj. Meta do ram teorii kategorii)?

— user56834

@ Programmer2134: Nie, teoria kategorii całkowicie ignoruje aksjomaty i po prostu zapewnia język, w którym można mówić o odwzorowaniach, które zachowują taką strukturę: nie wiedząc, która struktura jest zachowana, wiemy, że połączenie dwóch takich map zachowuje również strukturę. Z tego powodu aksjomaty teorii kategorii wymagają, aby istniało asocjacyjne prawo kompozycji dotyczące morfizmów i podobnie, aby istniał morfizm tożsamości od każdego obiektu do siebie. Ale nie zakłada się, że morfizmy faktycznie są funkcjami między zbiorami, tylko że zachowują się tak jak one.

— PJTraill

5

Teoria kategorii jest w pewnym sensie uogólnieniem teorii zbiorów: kategoria może być kategorią zbiorów lub może być czymś innym. Więc uczysz się mniej, jeśli dowiesz się, że jest obiektem w jakiejś nieokreślonej kategorii, niż jeśli dowiesz się, że jest zbiorem (ponieważ w tym drugim przypadku wynika, że jest obiektem w konkretnej kategorii zbiorów). Jeśli dowiesz się, że jest obiektem w określonej określonej kategorii (innej niż kategoria zbiorów), to czego się uczysz różni się od uczenia się, że jest zbiorem (tj. Obiekt w kategorii zbiorów); żadne z nich nie sugeruje drugiego. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

Nie ma różnicy między stwierdzeniem, że jest grupą, a stwierdzeniem, że jest obiektem w kategorii Grp. Te dwa stwierdzenia są równoważne. $x$ $x$

Uwaga: nie mówimy, że należy do kategorii Grp; mówimy, że jest obiektem w kategorii Grp. Kategoria ma zarówno obiekty, jak i strzałki. Musisz określić, o czym mówisz. $x$ $x$

— DW
źródło

Więc pozwól mi porównać kategorie z zestawami i typami, tak jak @AndrejBrauer w swojej odpowiedzi na moje inne pytanie. Zestaw formalizuje pojęcie zbioru obiektów. Typ formalizuje pojęcie budowy obiektów. Jakie pojęcie formalizuje „Kategoria”? Co matematyczny procesu / struktura jest kategoria teoria teoria stanowi ?

— user56834

„Więc uczysz się mniej, jeśli dowiesz się, że

jest obiektem w jakiejś nieokreślonej kategorii, niż jeśli dowiesz się, że

jest zbiorem ”. Jeśli zamienisz „czy zestaw” na „jest członkiem jakiegoś nieokreślonego zestawu”, jak zmieni się to zdanie? Czy nakładamy jakieś ograniczenia na

, mówiąc, że jest to obiekt nieokreślonej kategorii? Z pewnością możemy po prostu stworzyć kategorię, w której

jest jedynym obiektem?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, to dobra uwaga. Ma sens. Akceptuję twój punkt widzenia.

— DW

4

Kolejny punkt wyjaśnienia DW

Nie ma różnicy między stwierdzeniem, że jest grupą, a stwierdzeniem, że jest obiektem w kategorii . Te dwa stwierdzenia są równoważne. $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Chciałbym wydać mocniejsze stwierdzenie:

Pojęcie jest zdefiniowane przez jego kategorię

Pomyśl o tym z perspektywy wynalazcy, który chce wyjaśnić swoją koncepcję. Załóżmy, że nowa koncepcja nazywa się . Po pierwsze, może trzeba określić, ile odmian przypadków rzeczy, które są może istnieć. Nazwijmy ten zbiór instancji . $M$ $M$ $M_0$

Ponieważ powiedziałeś, że jest wiele rzeczy oznaczonych literą , musisz wyjaśnić, że każda z nich jest porównywana / odnosi się do siebie. Pan wyjaśnić, dlaczego uważasz, że są różne przypadki . Może być nawet wiele sposobów na porównanie z . Lub w niektórych przypadkach porównanie może być niemożliwe. Oznaczmy ten zbiór sposobów porównywania do jako . $M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

Prawdopodobnie już zauważasz, że tworzy zbiór obiektów, a jest zbiorem kategorii. Prawa teorii kategorii określają zatem oczekiwane zachowanie „porównania”. $M_0$ $M(A,B)$

Gdy już to zrobisz, kategoria daje wiele domyślnych właściwości pojęcia. Przykłady obejmują od

„które instancje są zasadniczo takie same --- izomorfizm”,
„która z tych dwóch instancji jest większa, a która jest mniejsza --- para cofania sekcji”,
„Ile podstawowych elementów znajduje się w tym wystąpieniu? --- homset z obiektu końcowego”

i tak dalej.

Co do pytania, które zadajesz w komentarzu

Jaki proces / struktura matematyczna jest teorią kategorii?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
źródło

Hmm Nie rozumiem dokładnie, jak znając kategorię struktury, wiemy wszystko o tej strukturze. Nie wiemy, jakie aksjomaty spełnia struktura, prawda?

— user56834

@ Programmer2134 Ponowne przemyślenie teorii mnogości Toma Leinstera (która jest streszczeniem pracy Lawvere) jest dobrym przykładem. Praca definiuje samą teorię zbiorów, definiując właściwości (morfizmów) kategorii zbiorów (bez dostępu do „wewnątrz” dowolnych obiektów w celu uzyskania dostępu do wcześniejszych założeń, które możemy mieć na temat zbiorów.)

— Apiwat Chantawibul

Mówisz więc, że nie tracisz żadnych informacji na temat teorii zbiorów, po prostu rozważając kategorię zbiorów, zapominając o jej aksjomatach?

— user56834

@ Programmer2134 Tak, w rzeczywistości bardziej przypomina aksjomaty definiujące teorię zbiorów ZFC, które zostały przetłumaczone na czysto właściwości morfizmów. Tak więc ta kategoria, którą, jak twierdzimy, ma pewne właściwości dotyczące morfizmów, określa teorię zbiorów.

— Apiwat Chantawibul

Czy znasz tekst, który wyraźnie wyjaśnia ten punkt dotyczący teorii kategorii w jasny sposób?

— user56834

1

Zestawy

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Filozofia. Zestawy mają wewnętrzną strukturę - są całkowicie determinowane przez ich elementy.

Uwaga. Systemem aksjomatycznym szeroko stosowanym przez teoretyków zbiorów jest ZFC. Jego siłą jest prostota: są tylko zestawy i relacja członkowska. Z drugiej strony wielu matematyków uważa, że prowadzi to do koncepcji zestawu, która odbiega od ich zrozumienia i użycia zbiorów (porównaj poniżej Leinster ). W rzeczywistości ogromna większość matematyków (oprócz teoretyków zbiorów) wydaje się nie używać aksjomatów ZFC. Jednak zestawy niekoniecznie odnoszą się do ZFC (patrz poniżej kategorie i ETCS).

Kategorie

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Filozofia. Obiekty kategorii nie mają z góry wewnętrznej struktury. Charakteryzują się jedynie relacjami (morfizmami) z innymi przedmiotami.

Uwaga. Podstawową koncepcją kategorii jest funkcja, która zbiega się z użyciem zbiorów przez zdecydowaną większość matematyków. Dlatego możesz postrzegać kategorie jako koncepcyjne uogólnienie sposobu, w jaki (większość) matematyków z bardzo różnych dziedzin używa zbiorów w swojej codziennej pracy. Oprócz kategorii (i toposów) jako uogólnienia możesz przyjrzeć się systemowi aksjomatycznemu ETCS, który jest zestawami aksjomatycznymi (porównaj poniżej Leinster i Lawvere ).

Pytanie. Jaka jest różnica między stwierdzeniem, że x jest grupą, a stwierdzeniem, że x należy do kategorii Grp?

$x$ $x$

Krytycy

W przypadku ZFC i ETCS podejścia te można przełożyć na siebie, chociaż ETCS jest słabszy niż ZFC, ale (pozornie) obejmuje większość matematyki (patrz MathStackExchange i Leinster). Zasadniczo (stosując rozszerzenie ETCS) można udowodnić te same wyniki przy obu podejściach. Tak więc wyżej wspomniane filozofie obu pojęć nie domagają się fundamentalnego rozróżnienia w tym, co możesz wyrazić lub jakie wyniki możesz udowodnić.

Wyrażenia zawarte i członkostwa w ZFC są abstrakcyjne pojęcia jak pojęciami kategorii lub jakiegokolwiek innego systemu aksjomatyczną i może oznaczać cokolwiek. Zatem z tego formalnego punktu widzenia twierdzenie, że ZFC dotyczy wewnętrznej struktury zbiorów, podczas gdy kategorie dotyczą zewnętrznych relacji obiektów względem siebie, wydaje się niewłaściwe. Z drugiej strony wydaje się, że jest to filozofia lub intuicja związanych z nimi teorii.

Jednak w praktyce preferujesz określone podejście, np. Ze względu na jasność lub prostotę, lub dlatego, że niektóre koncepcje lub połączenia z innym obszarem ewoluują bardziej naturalnie niż gdzie indziej.

Bibliografia

Teoria Spivak.Category dla naukowców

Leinster. Myślenie o teorii mnogości

Lawvere. Elementarna teoria kategorii zbiorów

Teoria MathStackExchange.Category bez zbiorów

— FWE
źródło