Niedawny post na łamigłówce dotyczący znalezienia trzech równomiernie rozłożonych prowadzi mnie do pytania o przepełnienie stosu z najlepszą odpowiedzią, która twierdzi, że zrobię to w czasie O (n lg n). Interesujące jest to, że rozwiązanie polega na podniesieniu kwadratu do wielomianu, odnosząc się do artykułu opisującego, jak to zrobić w czasie O (n lg n) .
Teraz mnożenie wielomianów jest praktycznie takie samo jak mnożenie liczb. Jedyną prawdziwą różnicą jest brak przenoszenia. Ale ... przeniesienia można również wykonać w czasie O (n lg n). Na przykład:
var value = 100; // = 0b1100100
var inputBitCount = value.BitCount(); // 7 (because 2^7 > 100 >= 2^6)
var n = inputBitCount * 2; // 14
var lgn = n.BitCount(); // 4 (because 2^4 > 14 => 2^3)
var c = lgn + 1; //5; enough space for 2n carries without overflowing
// do apparently O(n log n) polynomial multiplication
var p = ToPolynomialWhereBitsAreCoefficients(value); // x^6 + x^5 + x^2
var p2 = SquarePolynomialInNLogNUsingFFT(p); // x^12 + 2x^11 + 2x^10 + x^8 + 2x^7 + x^4
var s = CoefficientsOfPolynomial(p2); // [0,0,0,0,1,0,0,2,1,0,2,2,1]
// note: s takes O(n lg n) space to store (each value requires at most c-1 bits)
// propagate carries in O(n c) = O(n lg n) time
for (var i = 0; i < n; i++)
for (var j = 1; j < c; j++)
if (s[i].Bit(j))
s[i + j].IncrementInPlace();
// extract bits of result (in little endian order)
var r = new bool[n];
for (var i = 0; i < n; i++)
r[i] = s[i].Bit(0);
// r encodes 0b10011100010000 = 10000
Moje pytanie brzmi: gdzie jest błąd? Mnożenie liczb w O (n lg n) to gigantyczny otwarty problem w informatyce i naprawdę naprawdę wątpię, by odpowiedź była taka prosta.
- Czy noszenie jest złe, czy nie O (n lg n)? Doszedłem do wniosku, że lg n + 1 bitów na wartość wystarcza do śledzenia przeniesień, a algorytm jest tak prosty, że byłbym zaskoczony, gdyby się pomylił. Należy zauważyć, że chociaż pojedynczy przyrost może zająć czas O (lg n), łączny koszt dla przyrostów x wynosi O (x).
- Czy algorytm mnożenia wielomianowego z papieru jest nieprawidłowy, czy występują warunki, które naruszam? W pracy zastosowano szybką transformatę Fouriera zamiast transformacji teoretycznej, co może stanowić problem.
- Czy wielu inteligentnych ludzi przegapiło oczywisty wariant algorytmu Schönhage – Strassen przez 40 lat? Wydaje się to zdecydowanie najmniej prawdopodobne.
Właściwie napisałem kod, aby to zaimplementować, z wyjątkiem wydajnego mnożenia wielomianowego (jeszcze nie rozumiem wystarczająco teoretycznej transformacji liczbowej). Testy losowe wydają się potwierdzać poprawność algorytmu, więc problem prawdopodobnie występuje w analizie złożoności czasowej.
x^10 + 2x^8? x ^ 10 tylko raz (x ^ 5 * x ^ 5) i x ^ 8 dwa razy (x ^ 6 * x ^ 2 + x ^ 2 * x ^ 6)