Czy funkcja obliczalna może zbiegać się w liczbę nieobliczalną?

Czy istnieje funkcja obliczalna taka, że:$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$

• Dla wszystkich$t\in\mathbb{N}: 0\le f(t) < X$
• $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t) = X$

Gdzie $X$ jest nieobliczalną liczbą rzeczywistą.

Jedyne odniesienie do tego pytania, które znalazłem, to odpowiedź na to pytanie : /math//a/1052579/168764 , gdzie wydaje się, że funkcja się utrzyma, ale nie mam pojęcia, jak to udowodnić granicą tej funkcji jest niepoliczalna liczba rzeczywista.

Rozważ kodowanie liczb rzeczywistych problemu (prawie) zatrzymania, tj. gdzie jeśli i-ta maszyna Turinga (w odniesieniu do porządku leksykograficznego) zatrzymuje się na pustym wejściu, a przeciwnym razie. Oznaczmy tę liczbę przez .$0.r_1r_2...$$r_i=1$$r_i=0$$R$

Teraz rozważmy maszynę która na wejściu symuluje wszystkie maszyny Turinga o długości na pustym wejściu dla kroków i zwraca gdzie jeśli -ta maszyna Turinga zatrzymuje się na pustym wejściu w mniej niż krokach, a przeciwnym razie. Oczywiście dla wszystkich ustala się, że , i nie jest zbyt trudne do wykazania, że zbieżny do . Kluczową kwestią jest to, że szybkość konwergencji nie jest obliczalna, co oznacza, że ​​biorąc pod uwagę$M$$n$$< n$$n$$0.\hat{r_1}...\hat{r_{2^n-1}}$$\hat{r_i}=1$$i$$n$$\hat{r_i}=0$$n$$M(n)< R$$\{M(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$R$$\epsilon$Nie można obliczyć wskaźnik taki, że poza nim seria jest -Zamknij się .$\epsilon$$R$