Dlaczego

Chciałbym wiedzieć, czy istnieje zasada, aby to udowodnić. Na przykład, jeśli użyję prawa dystrybucyjnego, dostanę tylko $(A \lor A) \land (A \lor \neg B)$ .

Uważam, że zdjęcia świetnie nadają się do wszystkiego, co jest na tyle proste, aby z nich korzystać, to jest to.

Zapamiętaj:

AND oznacza obszar zajmowany przez obie rzeczy. Zatem środkowy jest zajęty poza B, ale także wewnątrz A. Ich skrzyżowanie nie jest liczone, ponieważ znajduje się w A, ale nie poza B.

LUB oznacza, że ​​jest objęty jednym lub obydwoma. Oba obejmują część A, która znajduje się poza B, a skrzyżowanie jest pokryte przez A (pierwsze zdjęcie), więc również jest liczone. Podsumowując, znowu masz A.

Przepraszamy, jeśli jest to zbyt uproszczone, nie jestem pewien, na jakim jesteś poziomie.

Można to zobaczyć na wiele sposobów. Jednym z nich jest tabela prawdy. Inny sposób polega na użyciu Rozdzielczej zasadę: ∨ ( ∧ Kontakty B ) = ( A ∧ ⊤ ) ∨ ( A ∧ ¬ B ) = ∧ ( ⊤ ∨ Kontakty B ) = ∧ ⊤ = .

Użyłbym mojej najmniej ulubionej reguły wnioskowania: Eliminacja rozłączeń . Zasadniczo mówi, że jeśli wynika z P , a R wynika z Q , to R musi być prawdziwe, jeśli P ∨ Q : ( P → R ) , ( Q → R ) , ( P ∨ Q ) ⊢ $R$$P$$R$$Q$$R$$P \vee Q$

Załóżmy więc, że . Ustaw P = A , Q = A ∧ ¬ B , R = A i zastosuj regułę:$A \lor (A \land \neg B)$$P = A$$Q = A \land \neg B$$R = A$

• Jeśli ( = A ) to koniec.$P$$= A$
• Jeśli to A (przez eliminację koniunkcyjną, S ∧ T ⊢ S )$Q = A \land \neg B$$A$$S \land T \vdash S$
• Poprzez eliminację alternatywy ∨ ( ∧ ¬ B ) → A .$A \lor (A \land \neg B) \to A$

Odwrotność jest trywialna: załóżmy , a następnie jeden z wariantów wprowadzenia koniunkcji ( S ⊢ S ∨ T dla dowolnego T ) A → A ∨ ( ⋯ ) .$A$$S \vdash S \lor T$$T$$A \to A \lor (\cdots)$

Oto schemat tego dowodu:

$C$$D$$C \lor D = D$$D$$C$$D$

$C = A \land \lnot B$$D = A$

Bardziej intuicyjny wygląd:

Ajest zawsze prawdziwe, gdy Ajest prawdziwe.

A & -Bjest prawdziwe tylko wtedy, gdy Ajest prawdziwe.

Intuicyjnie zastosowanie OR do tych dwóch przyniosłoby wynik, Cktóry zawsze jest prawdziwy, gdy Ajest prawdziwy. Jako taki Cjest zawsze prawdziwy, gdy Ajest prawdziwy.

(Przestań czytać tutaj, jeśli to wyjaśnienie Ci odpowiada).

Tak myślę o tym problemie. Jednak to wyjaśnienie nie jest kompletne, ponieważ wszystko, co pokazaliśmy, to to A -> Ci nie A <-> C.

Pokażmy to również C -> A.

Azawsze jest fałszem, gdy Ajest fałszem.

A & -Bzawsze jest fałszem, gdy Ajest fałszem.

Intuicyjnie zastosowanie OR do tych dwóch dawałoby wynik, Cktóry zawsze jest fałszywy, gdy Ajest fałszywy. Jako taki, Czawsze jest fałszywy, gdy Ajest fałszywy; -A -> -C, co jest tym samym co C -> A.

Tak A -> Ci C -> Atak A <-> C.

Czasami ludzie są zdezorientowani literami. Ludzie lubią jedzenie, bo łatwo o tym pomyśleć.

Udawaj, że proszę rzucić monetą, aby wybrać jedną z LUB LUB z dwóch następujących opcji:

• Jabłko, LUB ...
• Jabłko, a na pewno nie banan.

[Pierwszy jest równy „A”, drugi „A, a nie B”. Ale nie myśl o literach. Pomyśl o jabłku i o tym, czy dostaniesz banana.]

Ten pierwszy naprawdę oznacza „Jabłecznik, a może dostaniesz banana”.

Więc pominięcie czegoś jest tym samym, co powiedzenie „może”.

Patrząc na nich jako parę, cokolwiek dostaniesz, na pewno będzie zaangażowany Apple. Tak A jeśli twój coinflip wybierze właściwy, możesz dostać banana.

Ale czy to nie to samo, co powiedzenie „może dostaniesz banana”? Tylko z połową prawdopodobieństwa?

Wszystko, co możesz logicznie powiedzieć, to że dostaniesz Apple. Nie możesz powiedzieć nic o tym, czy dostaniesz banana.

Podobna do odpowiedzi Yuval Filmus. Wykorzystanie algebry boolowskiej w notacji inżynierskiej i faktoring (lub faktoryzacja) A.

$A+A\cdot\bar B=A\cdot(1+\bar B)=A\cdot1=A$

Wygląda na to, że nikt jeszcze o tym nie wspominał, więc pójdę naprzód.

Prawem do radzenia sobie z tego rodzaju problemami jest prawo absorpcji , które stwierdza, że ​​pv (p ^ q) = p, a także, że p ^ (pvq) = p. Jeśli spróbujesz użyć w tym celu prawa dystrybucyjnego, będzie ci to krążyło w kółko:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Użyłem niewłaściwego symbolu „nie” i „równa się”, ale chodzi tutaj o to, że kiedy idziesz w kółko / kiedy występuje i / lub niedopasowanie zwykle powinieneś zwrócić uwagę na prawo absopcji.

B nie ma znaczenia dla wyniku, jak zauważysz, jeśli umieścisz to w tabeli prawdy.

Kolejny intuicyjny sposób spojrzenia na to:

Jeśli A jest zbiorem, możemy powiedzieć, że dany obiekt jest (w A) lub (nie w A).

Teraz spójrz na S = A lub (A i nie B) :

• Jeśli obiekt znajduje się w A, wówczas „A lub cokolwiek” zawiera wszystkie elementy w A, więc obiekt będzie również w S.

• Jeśli obiekt nie znajduje się w A, wówczas „A i cokolwiek” wyklucza wszystkie elementy spoza A, więc obiekt nie znajduje się w A ani w (A i nie B), więc nie ma go w S.

Rezultat jest taki, że każdy obiekt w A znajduje się w S, a każdy obiekt nie w A nie znajduje się w S. Tak intuicyjnie, obiekty w S muszą być dokładnie takie same w A i żadnych innych obiektów.

Gdy dwa zestawy mają identyczne elementy, są one zdefiniowane jako ten sam zestaw. Tak A = S.

Prostą metodą, z której zawsze możesz skorzystać, jeśli utkniesz, jest analiza przypadków.

$A$

Założyć $A$

$A$ może mieć już więcej możliwych wartości, sprawdziłeś tę propozycję.

lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.