Dlaczego A oznacza, że B jest prawdziwe, jeśli A jest fałszywe, a B jest fałszywe?

24

Wydaje mi się, że „implikacja” w języku angielskim nie oznacza tego samego, co operator logiczny „implikuje”, podobnie jak słowo „LUB” w większości przypadków oznacza „Wyłączne OR” w naszym codziennym użyciu języka.

Weźmy dwa przykłady:

Jeśli dzisiaj jest poniedziałek, jutro jest wtorek.

To prawda .

Ale jeśli powiemy:

Jeśli słońce jest zielone, to trawa jest zielona.

Jest to również uważane za prawdziwe. Czemu? Jaka jest za tym logika w naturalnym języku angielskim? Rozwala mi mózg.

— yoyo_fun
źródło

10

Ponieważ implikacja dotyczy zachowania prawdy . Jeśli

jest fałszem, nie ma prawdy do zachowania.

A

$A$

— Rodrigo de Azevedo

23

Logika boolowska nie ma nic wspólnego z językiem angielskim.

— Yuval Filmus

8

Już uwzględnione na Math Stos Exchange w tym wątku i innych powiązanych z nich: math.stackexchange.com/questions/48161/...

— Nayuki

8

Ta filozoficzna wymiana stosów w tym pytaniu jest również istotna: dlaczego warunki warunkowe z fałszywymi poprzednikami są uważane za prawdziwe?

— duplode

2

@ MHH ah, racja. „Jeśli x> 5, a następnie x> 3” nie jest pustą prawdą, „jeśli 2> 5, a następnie 2> 3” jest prawdziwą implikacją (fałszywe założenie), ale nie pustą, ponieważ nie ma w tym żadnego pustego zestawu.

— eques

38

Ludzie są źli w logice, dopóki nie będą musieli jej użyć, aby zrozumieć ludzkie sprawy. Pomyśl o „ jeśli to $A$ $B$ ” jako o obietnicy: „Obiecuję ci, że jeśli zrobisz , zrobię ”. Taka obietnica mówi nic na temat tego, co może zrobić, jeśli nie uda się zrobić . Tak czy inaczej, mógłbym zrobić i to nie uczyniłoby mnie kłamcą. $A$ $B$ $A$ $B$

Załóżmy na przykład, że twoja matka mówi ci:

Jeśli posprzątasz swój pokój, zrobię naleśniki.

Powiedzmy, że nie posprzątałeś pokoju, ale kiedy wszedłeś do kuchni, mama robiła naleśniki. Zadaj sobie pytanie, czy to czyni twoją matkę kłamcą. To nie! Byłaby kłamcą tylko wtedy, gdybyś posprzątała pokój, ale odmówiła robienia naleśników. Mogą istnieć inne powody, dla których postanowiła zrobić naleśniki (być może twoja siostra posprzątała swój pokój). Twoja mama nie powiedziała ci: „Jeśli nie posprzątasz pokoju, nie zrobię naleśników”, prawda?

Więc jeśli powiem

„Jeśli słońce jest zielone, to trawa jest zielona”.

to nie czyni mnie kłamcą. Słońce nie jest zielone (nie posprzątałeś pokoju), ale trawa i tak okazała się zielona (ale twoja mama i tak robiła naleśniki).

— Andrej Bauer
źródło

To nie uczyniłoby cię kłamcą, ale nie uczyniłoby cię też mówcą prawdy. Dlaczego nie powiesz szczerej prawdy, że jest to czysto konwencja? Wydaje się, że wszyscy na świecie boją się to powiedzieć (z wyjątkiem użytkownika, który opublikował inną odpowiedź na tej stronie) ...

— Mehrdad,

12

O czym mówisz, gdy mówisz „ to czysta konwencja”? Znaczenie implikacji? Jasne, ale mylisz się, gdy mówisz, że to czysta konwencja, tak jakby znaczenie implikacji było jakimś arbitralnym śmieciem, które wymyślił biurokrata. Konwencje (jeśli chcesz je tak nazwać) w matematyce istnieją z dobrego powodu. Są przydatne i pomagają wyjaśnić różne rzeczy. Są dalekie od arbitralności, dlatego intelektualnie nieuczciwe jest zajmowanie stanowiska, że „wszystko jest po prostu konwencją”. To czyni cię trollem.

— Andrej Bauer

Oddychanie to tylko konwencja. ;-)

— jpaugh

2

<span style = "voice: samuel-jackson"> Myślisz, że oddychasz powietrzem? </span>

— Andrej Bauer

2

@AndrejBauer - ... uh, myślę, że masz na myśli style="voice: laurence-fishburne"...

— Mark Rogers

16

To konwencja - moglibyśmy użyć innej, ale ta jest wygodna. Oto, co mówi Terence Tao :

Jest to omówione w załączniku A.2 do mojej książki [Analiza 1]. Pojęcie implikacji stosowane w matematyce to implikacja materialna, która w szczególności przypisuje prawdziwą wartość każdej pustej implikacji. Można oczywiście zastosować inną konwencję w odniesieniu do pojęcia implikacji, jednak implikacja materialna jest bardzo przydatna w celu udowodnienia twierdzeń matematycznych, ponieważ pozwala ona zastosować implikacje takie jak „jeśli A, to B” bez konieczności wcześniejszego sprawdzenia, czy A jest prawdą czy nie. Implikacja materialna spełnia również szereg użytecznych właściwości, takich jak specjalizacja: jeśli na przykład wiadomo dla każdego x, że P (x) implikuje Q (x), to można specjalizować to do określonej wartości $x$ , powiedz 3, i wyciągnij wniosek, że P (3) implikuje Q (3). Zauważ jednak, że w ten sposób niepotrzebna implikacja może stać się pustą implikacją. Na przykład wiemy, że oznacza dla dowolnej liczby rzeczywistej ; specjalizując się w rzeczywistej liczbie 3, uzyskujemy próżną implikację, że implikuje . $x \geq 5$ $x^2 \geq 25$ $x$ $3 \geq 5$ $3^2 \geq 25$

Sposób, w jaki lubię myśleć o implikacjach materialnych, jest następujący: twierdzenie, że A implikuje B, mówi tylko, że „B jest co najmniej tak samo prawdziwe jak A”. W szczególności, jeśli A jest prawdziwe, to B również musi być prawdziwe; ale jeśli A jest fałszem, to implikacja materialna pozwala B być prawdą lub fałszem, a więc implikacja jest prawdziwa, bez względu na to, jaka jest prawidłowa wartość B.

— Hatszepsut
źródło

To zdanie brzmi nieźle, dopóki nie uświadomisz sobie, że przywoływana przez niego intuicja nie jest w rzeczywistości prawdą. Pomyśl o czymś takim: „Jeśli kosmici przemierzają Ziemię, to jestem kosmitą” ... Byłbym bardziej skłonny uwierzyć, że kosmici przemierzają Ziemię, niż że sam jestem kosmitą ...

— Mehrdad

1

„Jeśli kosmici przemierzają Ziemię, to jestem kosmitą” nie jest prawdziwą implikacją; to znaczy, q nie wynika zwykle. Że różni się od jeśli p jest fałszywe implikacja jest prawdziwa

— eques

@ Mehrdad nie powinien brzmieć „Jeśli jestem kosmitą, to kosmici wędrują po Ziemi”?

— Paŭlo Ebermann

@eques: „Jeśli jutro wstanie słońce, to wstaję rano” ... Założę się, że jeśli jutro nie wstanie, nadal wstałbym rano (nie licząc innych efektów znikania słońca) ). Ale ludzie i tak mówią takie rzeczy.

— Mehrdad

@Mehrdad ludzie mówią rzeczy, które nie są logicznie rygorystyczne przez cały czas; to nie znaczy, że reguły logiki nie są dobre. A jeśli ktoś wciąż wstaje rano, mimo że słońce nie wschodzi, nie sprzeciwia się im. Implikacja jest nadal prawdziwe

— eques

10

„A implikuje B” oznacza (krótko) „jeśli A jest prawdą, to B jest prawdą”.

Oznacza to (nieco dłużej) „jeśli A jest prawdą, to twierdzę, że B jest prawdą; jeśli A jest fałszem, nie twierdzę nic o B”.

Teraz weź „Jeśli słońce jest zielone, to trawa jest zielona”.

W długiej formie jest tłumaczone na „Jeśli słońce jest zielone, to twierdzę, że trawa jest zielona; jeśli słońce nie jest zielone, nie twierdzę, że kolor trawy jest jakikolwiek”. Słońce nie jest zielone, więc nie przejmuję się kolorem trawy.

— gnasher729
źródło

Więc jeśli nie zgłosisz żadnych roszczeń dotyczących trawy, oznacza to, że wszystko jest prawdziwe dla trawy ... ale jak to równoznaczne z „Nie twierdzę, że chodzi o trawę”?

— yoyo_fun

Czy „logiczny” operator logiczny można modelować przy użyciu zestawów takich jak reszta operatorów?

— yoyo_fun

1

@yoyo_fun

jest równoważne

i można go modelować tak samo.

A \to B

$A \rightarrow B$

\neg A \lor B

$\neg A \vee B$

— hobbs

1

@yoyo_fun Nie roszcząc sobie prawa do trawy, nie oznacza, że wszystko się załamuje. trawa jest prawdziwa! (Trawa żyje; trawa martwa nie może być prawdą.) W kontekście oznacza to, że „jeśli słońce nie jest zielone, wówczas oryginalne oświadczenie nie daje nam żadnych informacji na temat trawy”.

— jpaugh

6

Weźmy przykład. Załóżmy, że chcemy wyrazić, że jest jedynym elementem zbioru , że nieruchomość spełnia . Następnie możemy napisać $a$ $S$ $P$ Oznacza to, że każdy element spełniający musi być równy . To nie ma nic na temat elementów niespełniających zastrzeżenia . Jeśli nie spełnia i różni się od to jest fałszem, a jest fałszem, więc jest prawdą, tak jak w twoim przykładzie.

\forall x \in S P (x) \Rightarrow x = a

$\forall x \in S \;\; P(x) \Rightarrow x = a$

x

$x$

P

$P$

a

$a$

P

$P$

b

$b$

P

$P$

a

$a$

P (b)

$P(b)$

b = a

$b = a$

P (b) \Rightarrow b = a

$P(b) \Rightarrow b = a$

— Yuval Filmus
źródło

3

Myślę, że to najlepsza odpowiedź. Na przykład: twierdzenie „jeśli zwierzę jest kotem, to jest ssakiem” jest prawdziwe, mimo że istnieją zwierzęta, które są ssakami, ale nie kotami, i zwierzęta, które nie są ani kotami, ani ssakami.

— jadhachem

4

Należy zauważyć, że wiele form logiki nie ma pojęcia chronologii ani przyczynowości. Jeśli coś jest prawdą, to - w swoim kontekście - będzie i pozostanie prawdą na zawsze. Powiedzenie, że X oznacza Y, nie oznacza w żadnym sensie, że X w jakikolwiek sposób spowoduje, że Y będzie prawdziwe. Oznacza to po prostu, że X nie może być prawdą bez Y również, a Y nie może być fałszywe bez X również.

Aby użytecznie opisać związki przyczynowe w prawdziwym świecie, konieczne jest coś poza konstrukcjami stosowanymi w „ponadczasowej” logice. Pojęcie takie jak „W przypadku każdego działania Y, w którym X spowodowałoby, że Y jest uzasadnione, Y należy uznać za uzasadnione” może być przydatne we wszechświecie przyczynowym, nawet jeśli X może być fałszywy, ale operator implikacji całkowicie wysadza w takich przypadkach. Gdyby ktoś powiedział „X oznacza, że Y należy uznać za rozsądne” i okazało się, że X nigdy nie było prawdziwe, oznaczałoby to, że wszystkie działania należy uznać za uzasadnione.

Nie jestem pewien, jakie formy logiki obejmują konstrukcje niezbędne do umożliwienia stwierdzeń dotyczących przyczynowości jednokierunkowej, ale uznanie, że logiczna definicja „implikuje” nie rozpoznaje pojęć czasu i przyczynowości, powinna ułatwić zrozumienie, dlaczego się zachowują w sposób sprzeczny z intuicją.

— supercat
źródło

1

Podczas używania Implikacji w języku angielskim nie chodzi o rzeczy lub przedmioty, które rozważamy.

$sun$ $green$ $grass$ $green$

Słońce jest tutaj tylko przedmiotem, nie rób z nim żadnych emocjonalnych przywiązań, że słońce nie może być zielone.

$S$ $G$ $GG$

$->$

To wydaje się mniej mylące niż podczas pisania w języku angielskim.

— iambruv
źródło

Co ma z tym wspólnego „przywiązanie emocjonalne”? W jaki sposób pisownia obiektów w inny sposób odpowiedziała na pytanie?

— Lekkość ściga się z Monicą

@LightnessRacesinOrbit To tylko dla niektórych studentów, którzy widzą rzeczy emocjonalnie, a nie logicznie. I przepraszam, która pisownia jest błędna?

— iambruv

Nie powiedziałem, że twoja pisownia się myliła. Pytam, dlaczego respektowanie „słońca” jako S„zielonego” Gi „trawy” jako GGzmienia cokolwiek.

— Wyścigi lekkości z Monicą

@LightnessRacesinOrbit Och, to tylko dla przekonania, nic więcej. Czasem mylić się, gdy wydawane są zdania, jak niektóre długopisy są ołówkiem, wszystkie ołówki są papugami, żadna papuga nie jest ptakiem. Wolę więc używać tego rodzaju symboli, aby przestać wyobrażać sobie, jak wszystkie ołówki są związane z byciem ptakiem, ponieważ są one tylko przedmiotami, które nie mają znaczenia ani ołówkiem, ani ptakiem.

— iambruv

Tak, wciąż nie rozumiem, jak to odpowiada na pytanie, ale w porządku

— Lekkość ściga się z Moniką

-1

Aby umieścić swoją głowę we właściwym miejscu dla mojej odpowiedzi, chcę wspomnieć, co lubię nazywać Twierdzeniem Latających Małp, lub co Wikipedia lubi nazywać zasadą eksplozji , która stwierdza:

(p \land \neg p) \to q

$(p\wedge\neg p) \rightarrow q$

$2+2=4$ $2+2=5$ $4=5$ $0=1$ $16=25$ $1=0$ $1=-1$ poprzez nadużywanie ukrytego podziału przez zero , ponieważ nie możesz dzielić przez zero, dzięki czemu możesz zrobić wszystko, co chcesz.

$p$ $F \rightarrow T$ $F \rightarrow F$

— durron597
źródło

2

P \to Q

$P\to Q$

P

$P$

Q

$Q$

Q

$Q$

r = \neg q

$r = \neg q$

(p \land \neg p) \to q

$(p \wedge \neg p) \rightarrow q$

(p \land \neg p) \to r

$(p \wedge \neg p) \rightarrow r$

Dlaczego A oznacza, że ​​B jest prawdziwe, jeśli A jest fałszywe, a B jest fałszywe?

Dlaczego A oznacza, że B jest prawdziwe, jeśli A jest fałszywe, a B jest fałszywe?