Intuicja za bramą Hadamard

10

Próbuję nauczyć się o obliczeniach kwantowych i mam przyzwoite rozumienie algebry liniowej.

Przeszedłem przez bramę NIE, co nie było takie złe, ale potem dotarłem do bramy Hadamard. I utknąłem. Głównie dlatego, że chociaż „rozumiem” manipulacje, nie rozumiem, co naprawdę robią ani dlaczego chcesz je robić, jeśli ma to sens.

Na przykład, gdy brama Hadamarda przyjmuje , daje . Co to znaczy? Dla bramki NOT przyjmuje i daje . Nie ma w tym nic niejasnego; daje „przeciwieństwo” bitu (dla superpozycji przyjmuje i daje ) i rozumiem, dlaczego to jest przydatne; z tych samych powodów (zasadniczo), że jest przydatny w klasycznym komputerze. Ale co (na przykład) brama Hadamarda robi geometrycznie z wektorem ? I dlaczego to jest przydatne? $|0\rangle$ $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$ $\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

logic quantum-computing

— wrzos
źródło

10

Brama Hadamarda może być twoim pierwszym spotkaniem z tworzeniem superpozycji . Kiedy mówisz, że możesz powiązać użyteczność bramki Pauli (aka ) z jej klasycznym odpowiednikiem - cóż, Hadamard jest dokładnie tam, gdzie opuszczasz królestwo klasycznego analogu. Jest to przydatne do dokładnie tego samego powodu, jednakże, a mianowicie, że jest często używany do utworzenia uniwersalnego zestawu bram (jak clasical z i fan-out, lub z fan-out w spokoju). $X$ NOTANDNOTNOR

Chociaż pojedyncza bramka jest nieco przydatna w generowaniu liczb losowych (jak powiedział Yuval Filmus), jej prawdziwa moc pokazuje się, gdy pojawia się w większej liczbie przypadków lub w połączeniu z innymi bramkami. Jeśli na przykład masz kubitów zainicjowanych w i zastosujesz po jednym do każdego z nich w dowolnej kolejności, otrzymasz które można rozwinąć do , teraz możemy oceniać funkcje na $H$ $n$ $|0\rangle$ $H$

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \dots \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / 2^{n / 2}

$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$

1 / 2^{n / 2} \cdot (| 00 \dots 00 ⟩ + | 00 \dots 01 ⟩ + | 00 \dots 11 ⟩ + \dots + | 11 \dots 11 ⟩)

$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$

2^{n}

$2^n$ różne wejścia równolegle! Jest to na przykład pierwszy krok w algorytmie Grovera .

Innym popularnym zastosowaniem jest Hadamard na jednym kubicie, a następnie CNOTkontrolowany z kubitem, który właśnie umieściłeś w superpozycji. Patrz: To stan Bella, który jest podstawą różnych protokołów dystrybucji klucza kwantowego , obliczeń opartych na pomiarach , teleportacji kwantowej i wielu innych aplikacji . Możesz także użyć wielokrotnie inicjowanych zerowych kubitów docelowych (z tym samym sterowaniem), aby utworzyć co jest znane jako GHZ stan

C N O T (2^{- 1 / 2} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = 2^{- 1 / 2} C N O T (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) = 2^{- 1 / 2} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$ CNOT

2^{- 1 / 2} (| 00 \dots 00 ⟩ + | 11 \dots 11 ⟩)

$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$ , również niezwykle przydatne.

Last but not least, jest to całkiem przydatna podstawowa transformacja, która jest odwracalna. Kolejna brama Hadamarda w pewnym sensie cofa to, co zrobiła poprzednia aplikacja ( ). Możesz eksperymentować wokół tego, co się stanie, jeśli użyjesz go do „kanapkowania” innych operacji, na przykład umieść jedną na docelowym kubicie bramki, a drugą po niej. Lub na obu kubitach (łącznie 4 Hadamardy). Wypróbuj sam, a na pewno dowiesz się dużo o obliczeniach kwantowych! $H^2 = I$ CNOT

Odnośnie „co brama Hadamarda robi geometrycznie z wektorem”: przeczytaj na sferze Blocha , usłyszysz o tym wszędzie. W tej reprezentacji brama Hadamarda wykonuje obrót o 180 ° wokół pewnej pochyłej osi. W Pauli bramy ( NOTjako jeden z trzech) również do 180 °, ale tylko o obrotów lub lub . Ponieważ takie operacje geometryczne są dość ograniczone, same bramy naprawdę niewiele mogą zrobić. (Rzeczywiście, jeśli ograniczysz się do tych i a $x$ $y$ $z$ CNOTw swoim komputerze kwantowym budujesz po prostu bardzo drogie i nieefektywne klasyczne urządzenie.) Obracanie się wokół czegoś przechylonego jest ważne, a jednym dodatkowym składnikiem, którego zwykle potrzebujesz, jest również obracanie o mniejszy ułamek kąta, na przykład 45 ° (jak w fazie brama przesuwna ).

— The Vee
źródło

9

Brama Hadamarda działa na jednym kubicie. Stan pojedynczego kubita można opisać jako , gdzie . Jeśli zmierzysz kubit, wynikiem jest z prawdopodobieństwem i z prawdopodobieństwem . Z perspektywy liniowo-algebraicznej stan kubita jest po prostu wektorem normy jednostkowej o długości dwa ponad liczbami zespolonymi. Dwa wektory obejmują przestrzeń wektorową o wymiarze drugim (ponad liczbami zespolonymi), a każdy wektor normy jednostkowej w tej przestrzeni wektorowej może być stanem kubita . $\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$ $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ $0$ $|\alpha|^2$ $1$ $|\beta|^2$ $\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

Ponieważ stan zawsze ma normę jednostkową, jedynymi możliwymi operatorami liniowymi w kubitach są te, które zachowują normy. Z algebry liniowej wiemy, że są to dokładnie operatory hermitowskie. Aby opisać operatora, wystarczy opisać jego działanie na podstawie. Na przykład wartość twojego operatora na wektorze is . $\left| 0 \right\rangle$ $\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Według Wikipedii brama Hadamarda służy do „losowego wprowadzania danych”. Po zastosowaniu do stałego kubita (tj. , lub ich obrót o liczbę zespoloną według normy jednostkowej), brama Hadamarda tworzy kubit „jednolicie losowy” , który po zmierzeniu zachowuje się jak rzetelny rzut monetą. Tego rodzaju zachowanie chcemy, gdy „próbujemy wszystkich możliwości równolegle”. $\left| 0 \right\rangle$ $\left| 1 \right\rangle$

Sugeruję kontynuowanie czytania na temat obliczeń kwantowych; kiedy przejdziesz do algorytmów kwantowych (takich jak Grovera i Shora), zrozumiesz, do czego przydają się te wszystkie bramy kwantowe.

— Yuval Filmus
źródło

3

„wektor normy jednostkowej długości dwa” był dla mnie mylący, ponieważ jestem przyzwyczajony do używania norm i długości zamiennie.

— adrianN