Dwie definicje zrównoważonych drzew binarnych

Widziałem dwie definicje zrównoważonych drzew binarnych, które wyglądają inaczej dla mnie.

1. Drzewo binarne jest zrównoważone, jeśli dla każdego węzła utrzymuje, że liczba wewnętrznych węzłów w lewym poddrzewie i liczba wewnętrznych węzłów w prawym poddrzewie różnią się co najwyżej o 1.

2. Drzewo binarne jest zrównoważone, jeśli dla dowolnych dwóch liści różnica głębokości wynosi co najwyżej 1.

Czy każde drzewo, które spełnia def. 1 również spełniają def. 2? Co na odwrót?

Definicja 1. jest również znana jako równoważenie ciężaru ¹, a definicja 2. jako równoważenie wzrostu .

Wyważenie wysokości nie oznacza wyważenia ciężaru; przykładami są zarówno drzewa AVL, jak i drzewa czerwono-czarne. Zobacz tutaj i tutaj, aby uzyskać dowody, odpowiednio.

Równowaga masy oznacza jednak wyważenie wysokości. Można to udowodnić, pokazując następujący silniejszy fakt przez indukcję (ponad wzrost): zrównoważone pod względem masy drzewo jest kompletne na wszystkich poziomach, ale najgłębszych². Zasadniczym argumentem na etapie indukcyjnym jest to, że poddrzewa nie mogą mieć różnicy wysokości większej niż jeden, ponieważ - obie posiadające deklarowaną właściwość poprzez hipotezę indukcyjną - nie byłyby wtedy równoważone wagowo.

1. Artykuł podaje inną, bardziej ogólną definicję.
2. $k$$k$$k-1$