Reklamacja pizzy w wysokości 34 milionów kombinacji

Reklama pizzy twierdzi, że możesz połączyć ich składniki z 34 milionami różnych kombinacji. Nie wierzyłem w to, więc odkurzyłem swoje zardzewiałe umiejętności kombinatoryczne i próbowałem to rozgryźć. Oto, co do tej pory mam: z witryny zamawiania online mam wybór

skorupa (4 rodzaje, wybierz 1)
rozmiar (4 typy, wybierz 1) niektóre skorupy są ograniczone do określonego rozmiaru - nie uwzględniają tego, ale chcieliby.
ser (5 rodzajów, wybierz 1)
sos (4 rodzaje, wybierz 1)
poziom sosu (3 rodzaje, wybierz 1)
wędliny (9 rodzajów, do 9)
bez mięsa (15 rodzajów, do 15)

Pomyślałem, że to był problem z kombinacją (kolejność nie jest ważna), a nie problem z wyborem k, null jest dozwolony dla niczego poza skórką i skórką, rozmiar, ser, sos i poziom sosu byłyby wybierane tylko jeden. Mięsa i Mięsa? To by było: $2^?$

crust $\binom{4}{1}=4$
size $\binom{4}{1}=4$
ser $\binom{5}{1}=5$
sos $\binom{4}{1}=4$
poziom sosu $\binom{3}{1}=3$
mięso $2^9 = 512$
bez mięsa $2^{15} = 32768$

W tym momencie utknąłem, jak połączyć je, aby uzyskać całkowitą liczbę możliwych kombinacji?

Ta strona była dla mnie pomocna.

ETA: Jeśli nie uwzględnię ograniczeń dotyczących wielkości skorupy - niektóre skórki są dostępne tylko w niektórych rozmiarach - jest ich ponad 16 miliardów; Dostępnych jest 16 106 126 376 kombinacji, więc były całkiem spore.

combinatorics discrete-mathematics

— gebuh
źródło

Tylko jeden ser? To jest powód, aby zamawiać gdzie indziej.

— Raphael

Może lepiej robią pizzę niż matematykę.

— Dave Clarke

Naprawdę naprawdę osiągnęli cel, jakim jest zaangażowanie Cię w ich reklamę. Kogo to obchodzi, jeśli liczba kombinacji jest nieprawidłowa?

— gnasher729,

Może nikt, ale była to interesująca łamigłówka, w której wykorzystano pewne umiejętności matematyczne, z których nie korzystałem od dłuższego czasu.

— gebuh

Ok, nieco bardziej szczegółowa odpowiedź niż w komentarzach.

Wyboru spośród dokonuje się za pomocą . Tak więc dla rzeczy takich jak rozmiar pizzy, gdzie masz 4 opcje (i musisz wybrać jedną, bo pizza nie może być jednocześnie średnia i bardzo duża), masz tylko opcje. Rzeczywiście, . $k$ $n$ ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $4$ ${4 \choose 1}=\frac{4!}{3!}=4$

Interesującą częścią są rzeczy takie jak opcje bezmięsne. Masz 15 i możesz wybrać dowolny zestaw do 15. Matematycznie oznacza to . ${15 \choose 0} + {15 \choose 1} + \cdots + {15\choose 15}$

Jak wspomniałeś, istnieje ładna formuła dla takich sum: ten sposób dla opcji innych niż mięso masz opcji , jak powiedziałeś. (zobacz tutaj, aby uzyskać więcej formuł).

\sum_{ja = 0}^{n} (\binom{n}{ja}) = {2)}^{ja}

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^i$

2^{15} = 32768

$2^{15}=32768$

Wreszcie, aby połączyć wszystkie opcje, wystarczy pomnożyć je. Jeśli masz 4 możliwe rozmiary i, powiedzmy, 4 możliwe skórki, to masz różnych kombinacji. $4\times 4=16$

Pomnożenie wszystkiego daje 16.106.127.360, czyli ponad 34 miliony.

— Ran G.
źródło