Złożoność naiwnego algorytmu znajdowania najdłuższego substratu Fibonacciego

Biorąc pod uwagę dwa symbole i , niech określić -tego ciąg Fibonacciego, co następuje: $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

z oznaczającym konkatenację łańcucha. $\star$

W ten sposób będziemy mieli:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

Biorąc pod uwagę ciąg tworzą symboli określamy Fibonacciego podciągu za każdym fragmentu z , który jest również ciąg Fibonacciego odpowiedniego wyboru i . $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

Problem

Biorąc pod uwagę literę , chcemy znaleźć jej najdłuższy substrat Fibonacciego. $S$

Trywialny algorytm

Dla każdej pozycji ciągu załóżmy, że zaczyna się (wystarczy sprawdzić, czy symbole ty i -ty są różne). W takim przypadku sprawdź, czy można go rozszerzyć na , a następnie i tak dalej. Następnie zacznij ponownie od pozycji . Powtarzaj, aż dojdziesz do pozycji . $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

Musimy spojrzeć na każdy symbol przynajmniej raz, więc jest to . W grę wchodzą tylko dwie pętle, więc możemy ponadto powiedzieć, że jest to . $\Omega(n)$ $O(n^2)$

Jednak (nieco zaskakujące) ten naiwny algorytm działa znacznie lepiej niż zwykle algorytmy kwadratowe (jeśli wykonuje dużo pracy na tej pozycji, nie wykona dużo pracy na następnych pozycjach). $i$

Jak mogę użyć właściwości Fibonacciego, aby znaleźć ściślejsze granice dla czasu wykonywania tego algorytmu?

— wil93
źródło

$F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

$N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ $|F(n-1)|$

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

$F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Yuval Filmus
źródło