Potrzebujesz renomowanego źródła wzoru na kształt horyzontu Ziemi

O co proszę

Podkreślam, że nie pytam o formułę - znam formułę i jak ją wyprowadzić. Kilka różnych wersji zostało odtworzonych pod koniec postu. W rzeczywistości, ktoś inny ma pochodzić nie tylko to, jak dobrze, ale również ładnie się prezentuje jedno z wyprowadzeń tutaj .

Potrzebuję renomowanego źródła tej formuły, aby na przykład można było umieścić ją w Wikipedii bez naruszania zakazu zgłaszania oryginalnych badań. [Ludzie faktycznie próbowali ... Ale odpowiedni artykuł ma bardzo sumiennego redaktora, który usunął tę sekcję, ponieważ jest to oryginalne badanie ... i, niestety, redaktor ma rację, więc nie ma sensu próbować walczyć z tym.]

Powód, dla którego publikuję w programie Computer Exchange Stackexchange

Ponieważ ktoś tutaj mógł modelować wygląd Ziemi z orbity, być może wiedziałby, czy ta formuła (lub, co bardziej prawdopodobne, pewne jej uogólnienie) jest opublikowana w jakiejś książce, czasopiśmie, materiałach konferencyjnych lub notatkach z zajęć itp.

Zrobiłem „należne google”

Proszę zrozumieć, że nie proszę nikogo, aby szukał odpowiedzi w moim imieniu. Robiłem już dużo googlingu i piszę tu tylko w ostateczności. Mam (dalekosiężną) nadzieję, że ktoś tutaj po prostu pozna odniesienie od samego początku; jeśli nie ... cóż, mam nadzieję, że przynajmniej podobało ci się ładne zdjęcie poniżej (jeśli sam to mówię, z pełną świadomością rozmawiam z ludźmi zainteresowanymi grafiką komputerową wszystkich rzeczy), zanim przeszedłeś do większego i lepszego rzeczy

Dwa zbliżające się źródła

1. DK Lynch, „Widząc wizualnie krzywiznę Ziemi”, Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Jest dostępny za darmo tutaj . Niestety, zamiast zrobić to we właściwy sposób (co nie jest takie trudne), autor wybrał hack, który (a) nie do końca rozumiem i (b) który nie zgadza się z tym, co wiem, że jest poprawna formuła.

2. R. Hartley i A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2 wyd. (Cambridge University Press, Cambridge UK, 2004). W sek. 8.3, „Działanie kamery rzutowej na kwadraty”, czytamy :

Załóżmy, że kwadrat jest kulą, a stożek promieni między środkiem kamery a kwadratem jest prostokątny, tzn. Generator konturu jest okręgiem, z płaszczyzną koła prostopadłą do linii łączącej kamerę i środki kuli. Można to zobaczyć na podstawie symetrii obrotowej geometrii wokół tej linii. Obraz sfery uzyskuje się przez przecięcie stożka z płaszczyzną obrazu. Oczywiste jest, że jest to klasyczny przekrój stożkowy, więc pozorny kontur kuli jest stożkowy.

Zasadniczo byłoby to dokładnie to, czego potrzeba, gdyby uwzględniono tylko nieco więcej informacji - przynajmniej wyrażenie mimośrodowości stożka jako funkcji odległości do kuli i promienia kuli (w przypadku gdy płaszczyzna obrazu jest prostopadła do generatki stożka, jak ma to miejsce, gdy kamera otworkowa jest skierowana na punkt na horyzoncie).

Szczegóły dotyczące formuły, do której potrzebuję odniesienia naukowe

Zakładamy idealnie kulistą, idealnie gładką Ziemię bez atmosfery. Wskazujemy wyidealizowaną kamerę otworkową na horyzont i, korzystając z prostej projekcji centralnej, obliczamy kształt obrazu horyzontu z tyłu aparatu (tj. Kształt, jaki będzie on miał na filmie --- „płaszczyzna filmu”) . Oto grafika (wykonana w Asymptote , dla zainteresowanych), która powinna to wyjaśnić:

Jak widzieliśmy powyżej, obraz horyzontu jest częścią stożkowego odcinka. Niech będzie ekscentrycznością stożka; wyprowadzenie , o którym wspomniałem powyżej, wykorzystuje zamiast tego parametr k , który jest po prostu mimośrodem odwrotnym: k = 1 / ε . Sama ekscentryczność jest podana jako ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , gdzieε=h/Rwynosi stosunek wysokościhw dziurkę od powierzchni Ziemi i promienia ZiemiR. [Zamiastϵ, który jest stosunkiemwysokościdoR, przydatne może być użycie$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$ , stosunek odległości otworków do centrum Ziemi , , do promienia Ziemi: η = ( R + h ) / R = $h+R$ . Pod względem η mamy ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ].$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

Odległość od otworków (punkt na grafice) do płaszczyzny filmu przyjmuje się jako jedną jednostkę długości.$P$

-osiowy w płaszczyźnie folii jest wybrana jako równoległe do linii łączącej środek Ziemi C (nie pokazany na rysunku) i punkt na poziomie (oznaczone jako V, jak na rysunku), w którym aparat fotograficzny jest przeszkolony. Ten wybór jest dobrze określony, ponieważ linia C V musi być równoległa do płaszczyzny filmu. Powodem tego jest to, że zarówno C V, jak i płaszczyzna filmu są prostopadłe do linii widzenia P V (linia łącząca P i V ). I że dlatego 1. Linia P V jest styczna do Ziemi na V , a więc prostopadle do$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ i 2. P $CV$$PV$ są prostopadłe do płaszczyzny folii, ponieważ kamera wyszkolonych w . X oś jest prostopadłej do y osi i leży w płaszczyźnie folii, a źródło jest wybrany projekcji od punktu V .$V$$x$$y$$V$

Po usunięciu tych definicji jesteśmy gotowi zapisać reprezentację odcinka stożkowego, który jest obrazem horyzontu Ziemi. Można to napisać na wiele sposobów, z których niektóre podano poniżej. To, czego potrzebuję, to renomowane odniesienie do dowolnej z tych formuł lub formuły równoważnej z nimi.

1. Wyraźny wzór podany we wspomnianej pochodnej

Pochodne, o których wspomniałem powyżej, daje to jako ostateczną wersję:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Przedstawmy to na kilka dodatkowych sposobów.

2. Wyrażenie w kategoriach równania kanonicznego przekroju stożkowego

W takim przypadku równanie przyjmuje następującą postać :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

gdzie w naszym przypadku .$\mu=\varepsilon$

Zaletą formy kanonicznej jest to, że może poradzić sobie ze wszystkimi stożkami na jednakowych podstawach, w tym w szczególności w przypadku paraboli, $\varepsilon=1$ . W sformułowaniu `` standardowym '' (patrz poniżej) przypadek paraboli można rozwiązać jedynie poprzez przyjęcie limitu .$\varepsilon\to 1$

Szczegóły: powyższy wzór obowiązuje w przypadku prawego okrągłego stożka, którego boki mają kąt , przecięty --- w odległości d od wierzchołka stożka --- przez płaszczyznę pod kątem ω względnym do osi stożka. (Aby wyjaśnić: d to odległość od wierzchołka stożka do punktu na elipsie, który jest najbliżej wierzchołka stożka; ten punkt jest zawsze jednym z końców głównej osi elipsy). W tym ogólnym przypadku mimośrodowość podano jako ε = cos ω / cos θ , zaś μ $2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

W odniesieniu do powyższej grafiki: oznacza odległość od P do płaszczyzny filmu (tj. Odległość wzdłuż przerywanej czerwonej linii); θ jest kątem między przerywaną czerwoną linią a osią stożka (która jest linią łączącą P i środkiem Ziemi --- przedłużeniem czarnej linii oznaczonej h na grafice); kąt ω jest kątem między osią stożka a płaszczyzną filmu.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

Biorąc pod uwagę, że płaszczyzna filmu jest prostopadła do przerywanej czerwonej linii, mamy ; dodatkowo bierzemy d = 1 , co razem daje to μ = ε .$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Wyrażenie w kategoriach `` standardowej formy '' sekcji stożkowej

Ta forma jest chyba najbardziej znana:

.$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Jest on związany z parametrami wprowadzającymi równanie kanoniczne (patrz 2. powyżej) w następujący sposób:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Wyrażenie w kategoriach krzywej parametrycznej

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$ na powyższym obrazie (tj. punktowi, w którym trenowana jest kamera otworkowa).

Aby dowiedzieć się, jak można użyć tych formuł, zobacz to .

Podsumowując ...

Czy ktoś widział powyższe formuły w jakimś renomowanym źródle, być może w kontekście modelowania wyglądu Ziemi z kosmosu? Jeśli tak, czy możesz mi powiedzieć, co to za źródło?

Dzięki!

Krzywa, której szukasz, to tylko przecięcie płaszczyzny (tył aparatu) i prawego okrągłego stożka. To nie jest tak naprawdę pytanie o Ziemię czy widoki planet z kosmosu; to po prostu prosta geometria współrzędnych 3D. Aby znaleźć odniesienie, polecam poszukiwanie „przecięcia płaszczyzny ze stożkiem” lub „płaskiego przekroju stożka” lub „płaskiego przekroju kwadratu”, coś w tym rodzaju.

Spodziewam się, że można znaleźć odpowiednie formuły (i pochodne) w dowolnym standardowym tekście na geometrii współrzędnych 3D. Niektóre prawdopodobne miejsca to:

• Łosoś - Traktat o geometrii analitycznej trzech wymiarów
• Somerville - Geometria analityczna trzech wymiarów
• Snyder i Sisam - Geometria analityczna przestrzeni

To wszystkie dość stare książki i możesz mieć problemy ze znalezieniem ich.

Możesz także spróbować zapytać na Math.StackExchange.

Nazywanie pochodnej „oryginalnymi badaniami” wydaje mi się absurdalne. Jest to problem w odrabianiu lekcji w szkole średniej w geometrii analitycznej.