tło

Ostatnim razem policzyliśmy grupy o danym rozmiarze , co jest nietrywialnym problemem.

Tym razem policzymy tylko grupy abelowe , tj. Grupy z operacją przemienną. Formalnie, grupę (G *) jest abelową jeśli x * y = y * x w przypadku wszystkich x, y , w G .

W ten sposób problem staje się o wiele prostszy, więc będziemy je skutecznie liczyć.

Zadanie

Napisz program lub funkcję, która przyjmuje nieujemną liczbę całkowitą n jako dane wejściowe i wypisuje lub zwraca liczbę nieizomorficznych abelowych grup rzędu n .

Jednym ze sposobów obliczania liczby grup - które oznaczymy przez A (n) - jest przestrzeganie następujących zasad:

• A (0) = 0

• Jeśli p jest liczbą pierwszą, A (p ^k ) jest równe liczbie całkowitych partycji k . ( porównaj OEIS A000041 )

• Jeśli n = mk i m oraz k są pierwszymi, A (n) = A (m) A (k) .

Możesz użyć tej lub innej metody obliczania A (n) .

Przypadki testowe

Input               Output
0                   0
1                   1
2                   1
3                   1
4                   2
5                   1
6                   1
7                   1
8                   3
9                   2
10                  1
11                  1
12                  2
13                  1
14                  1
15                  1
16                  5
17                  1
18                  2
19                  1
20                  2
4611686018427387904 1300156
5587736968198167552 155232
9223371994482243049 2

(pochodzi z OEIS A000688 )

Dodatkowe zasady

• Biorąc pod uwagę wystarczająco dużo czasu, pamięci RAM i rozmiaru rejestru, który może pomieścić dane wejściowe, kod powinien działać (teoretycznie) dla dowolnie dużych liczb całkowitych.

• Twój kod musi działać dla wszystkich liczb całkowitych między 0 a 2 ⁶³ - 1 i wykończenia w niecałe 10 minut na moim komputerze (Intel i7-3770, 16 GiB RAM, Fedora 21).

  Przed przesłaniem odpowiedzi upewnij się, że czas poświęcony został na trzy ostatnie przypadki testowe.

• Wbudowane, które trywializują to zadanie, takie jak Mathematica FiniteAbelianGroupCount, nie są dozwolone.

• Wbudowane, które zwracają lub liczą całkowite partycje liczby lub partycje listy są niedozwolone.

• Obowiązują standardowe zasady gry w golfa .

CJam ( 39 38 bajtów)

qimF{~M\{_ee{~\)<1b}%1+a\+}*0=1be&}%:*

Demo online

Jest to zgodne z sugerowaną linią znalezienia pierwszej faktoryzacji ( mF), a następnie obliczenia podziału każdej mocy i wzięcia ich iloczynu.

Istnieją dwa specjalne przypadki mF: czynniki uwzględniają 0jako 0^1i 1jako 1^1. Ta ostatnia nie wymaga specjalnego traktowania: istnieje jedna grupa abelowa wielkości 1 i jedna partycja 1. Jednak zero wymaga specjalnego przypadku.

Liczenie partycji wykorzystuje powtarzalność dla A008284(n, k)liczby partycji nna kczęści. W OEIS jest podany jako

T(n, k) = Sum_{i=1..k} T(n-k, i), for 1<=k<=n-1; T(n, n) = 1 for n >= 1.

ale myślę, że bardziej przydatne jest myślenie o kwocie od 1do min(k, n-k).

Sekcja

q~              e# Parse input into an integer
mF              e# Factorise it
{               e# For each factor p^a
  ~             e#   Split the array [p a]
                e#   The following lines count partitions of a
                e#   (Note: they would be buggy if a were ever 0, but it isn't)
  M\{           e#   Starting with a table of zero rows, repeat a times
    _ee         e#     Copy table and pair each row with its index
    {~\)<1b}%   e#     Extract that prepended index and use it to sum for each j
                e#     the first jth items of row j
    1+          e#     Append a 1 for P(i, i)
    a\+         e#     Prepend the new row to the table (which is stored in reverse)
  }*
  0=1b          e#   Sum the elements in the latest (first) row

  e&            e#   If p was 0 then replace with 0
}%
:*              e# Take the product

CJam, 50 49 47 43 bajtów

ri_mF{1=_L{1$0>{,f{):X-Xj}:+}{;!}?}2j}%:*e&

Wykorzystuje wbudowaną mFfaktoryzację CJam i zapamiętany port tej funkcji numeru partycji w języku Python:

p=lambda n,x:n==0 or n>0and sum(p(n+~a,a+1)for a in range(x))

lub bez golfa:

def p(n, x): # Call like p(n, n). n is number remaining, x is max part size
  if n > 0:
    return sum(p(n-a-1,a+1)for a in range(x))
  else:
    return (n==0)

Podobnie jak odpowiedź @ RetoKoradi, ten ostatni przypadek zajmuje około 17 sekund interpreterowi offline, ponieważ tyle czasu zajmuje CJam na obliczenie liczby. Dlatego zostawiłem to poza tym zestawem testów online .

Pełne wyjaśnienie

[Main body]
ri                                Read input and convert to int
  _          e&                   Logical AND input with final result to special case 0 
   mF                             Factorise input into [base, exponent] pairs
     {...}%                       Map, converting each pair to a partition number
           :*                     Take product

[Pair -> partition]
1=_                               Get exponent and copy (n,x in above Python)
   L                              Initialise empty cache
    {                       }2j   Memoise with 2 arguments
     1$0>                         Check if n > 0
         {            }{  }?      Execute first block if yes, else second block
                        ;!        Return (n == 0)
          ,f{      }              For each a in range(x) ...
             ):X-Xj               Call p(n-a-1,a+1) recursively
                    :+            Sum the results

Mathematica, 96 94 88 bajtów

f=1##&@@#&;f[SeriesCoefficient[1/f[1-x^Range@#],{x,0,#}]&/@Last/@FactorInteger@#]Sign@#&

Nie jestem zbyt biegły w matematyce, ale pomyślałem, że spróbuję. Dzięki @ MartinBüttner za -6 bajtów.

Używa to formuły funkcji generującej dla partycji całkowitych.

CJam, 58 bajtów

li_mF{1=_L{_1>{_2$<{\;_j}{\,f{)_@\-j}:+}?}{;;1}?}2j}%:*\g*

Wypróbuj online

Ostatni przykładowy test trwa wiecznie (lub przynajmniej dłużej, niż chciałem czekać) w tłumaczu online, ale kończy się za 17 sekund z wersją offline CJam na moim laptopie. Wszystkie inne przykłady testów są niemal natychmiastowe.

Używa to mFoperatora CJam , który daje pierwszą faktoryzację z wykładnikami. Wynik jest wtedy iloczynem partycji dla każdego wykładnika.

Główną częścią kodu jest obliczanie liczby partycji. Zaimplementowałem algorytm rekurencyjny na stronie wikipedii , używając joperatora obsługującego rekurencję z zapamiętywaniem.

Wyjaśnienie:

li    Get input and convert to int.
_     Make a copy to handle 0 special case at the end.
mF    Factorization with exponents.
{     Loop over factors.
  1=    Take exponent from [factor exponent] pair.
  _     Repeat it, recursive calls are initiated with p(n, n).
  L     Empty list as start point of memoization state.
  {     Start recursive block. Argument order is (m, n), opposite of Wikipedia.
    _1>   Check for n > 1.
    {     Start n > 1 case.
      _2$   Copy both m and n.
      <     Check for n < m.
      {     n < m case.
        \;    Pop m.
        _     Copy n.
        j     Make the p(n, n) recursive call.
      }     End n < m case.
      {     Main part of algorithm that makes recursive calls in loop.
        \,    Generate [0 1 ... m-1] range for k.
        f{    Start loop over k.
          )     Increment, since k goes from 1 to m.
          _     Copy k.
          @\    Rotate n to top, and swap. Now have k n k at top of stack.
          -     Subtract, now have k n-k at top of stack.
          j     Make the p(n-k, k) recursive call.
        }     End loop over k.
        :+    Sum up all the values.
      }?    Ternaray operator for n < m condition.
    }     End n > 1 case.
    {     n <= 1 case.
      ;;1   Pop m, n values, and produce 1 as result.
    }?    Ternary operator for n > 1 condition.
  }2j   Recursive call with memoization, using 2 values.
}%    End loop over factors.
:*    Multiply all values.
\     Swap original input to top.
g     Signum.
*     Multiply to get 0 output for 0 input.