Powinieneś napisać program lub funkcję, która przyjmuje nieujemną liczbę całkowitą Njako dane wejściowe i wyjściowe lub zwraca dwie liczby całkowite (ujemną, zerową lub dodatnią) Xi Y.

Liczby całkowite są rozumiane w sensie matematycznym, ponieważ jest ich nieskończenie wiele.

Zaimplementowana funkcja musi być bijectywna . Oznacza to, że dla każdego Nmusi wyprowadzać inną X Yparę i każda X Ypara powinna być wyprowadzana dla niektórych danych wejściowych, Ntzn. Dla niektórych z nich powinny być wyprowadzane wszystkie następujące pary N:

                 ...
    ┌─────┬─────┬────┬────┬────┐
    │-2 -2│-2 -1│-2 0│-2 1│-2 2│
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
    │-1 -2│-1 -1│-1 0│-1 1│-1 2│
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
... │0 -2 │0 -1 │0 0 │0 1 │0 2 │ ...
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
    │1 -2 │1 -1 │1 0 │1 1 │1 2 │
    ├─────┼─────┼────┼────┼────┤
    │2 -2 │2 -1 │2 0 │2 1 │2 2 │
    └─────┴─────┴────┴────┴────┘
                 ...

Zauważ, że U Vi V Usą różnymi parami jeśli U!=V.

Detale

• Jeśli twój język nie obsługuje dowolnie dużych liczb całkowitych, to dobrze, ale twój algorytm powinien działać z dowolnie dużym typem danych. Twój kod powinien nadal obsługiwać wartości wejściowe przynajmniej 2^31-1.
• Jeśli zdecydujesz się wydrukować lub zwrócić wynik jako ciąg znaków, nie będą dozwolone żadne znaki wiodące 0ani +znaki. W przeciwnym razie standardowa reprezentacja liczb całkowitych w twoim języku jest w porządku.

Przykład

Jeśli zadaniem byłoby utworzenie funkcji bijectywnej przyjmującej nieujemną liczbę całkowitą Ni wyprowadzenie jednej liczby całkowitej, Xrozwiązaniem może być funkcja

if (input mod 2 == 0) return N/2 else return -(N+1)/2,

zaimplementowane w jakimś języku. Ta funkcja zwraca wartość X = 0 -1 1 -2 2...dla N = 0 1 2 3 4....

Pyth, 15 lat

u,-HyeGhGjQ2,ZZ

Wypróbuj online.

u             reduce
                lambda G,H:    [implicit]
  ,-HyeGhG         (H-2*G[-1],G[0])
  jQ2           base(input(),2)
  ,ZZ           (0,0)
              print result     [implicit]

Tłumaczenie Python:

g=lambda Z,n:(n-2*Z[1],Z[0])
print reduce(g,binlist(input()),(0,0))

lub iteracyjnie:

(x,y)=(0,0)
for b in binlist(input()):
    (x,y)=(b-2*y,x)
print (x,y)

gdzie binlistkonwertuje liczbę na listę cyfr takich jak binlist(4) = [1,0,0].

Jak to działa? Interpretuje binarne cyfry liczby jako dwie przeplecione liczby w podstawowych ujemnych dwóch, jak w moim rozwiązaniu Python .$n$

Liczba binarna

$$n=\dots b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0$$ odpowiada parze $$(x,y) = (b_0 - 2 b_2 + 4 b_4 - 8 b_6 + \cdots, b_1 - 2 b_3 + 4 b_5 - 8 b_7 + \cdots).$$

Jeśli nie został jeszcze przetworzony ostatnią cyfrę o N , to mamy wszystkie współczynniki wyższa o 1 $ $, n " = ... b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 odpowiadającej pary ( x ' , y ' ) = ( b 1 - 2 b 3 + 4 b 5 - 8 b 7 + ⋯ , b 2 - 2 b $b_0$$n$

$$n'=\dots b_5 b_4 b_3 b_2 b_1$$ $$(x',y') = (b_1 - 2 b_3 + 4 b_5 - 8 b_7 + \cdots, b_2 - 2 b_4 + 4 b_6 - 8 b_8 + \cdots).$$

Następnie możemy wyrazić nowe wartości po odczytaniu w odniesieniu do starych wartości$b_0$

$$(x,y) = (b_0 - 2y', x').$$

$(x,y) \to (b - 2y, x)$$b$$n$$(x,y)$

CJam, 24 22 21 bajtów

Mój mózg ma problem ze zrozumieniem matematyki używanej przez inne rozwiązania. Ale mój mózg zdecydowanie rozumie binarny, więc oto dusza oparta na manipulacji bitami!

li4b2fmd2/z{)(\2b^}%p

Wypróbuj online.

Wyjaśnienie

Takie podejście traktuje dane wejściowe jako dwie przeplecione wartości binarne, po jednej dla każdej liczby wyjściowej. Wszystkie z wyjątkiem najmniej znaczącego bitu każdego z nich kodują wielkość, a najmniej znaczący bit sygnalizuje, czy przyjąć bitowe uzupełnienie tej wielkości. W tej implementacji bity o nieparzystej pozycji odpowiadają pierwszej liczbie wyjściowej (a bity o parzystej pozycji odpowiadają drugiej) i LSB 0sygnałów w celu uzupełnienia.

Na przykład, biorąc pod uwagę wejście 73, przeplatanie jego binarnej reprezentacji 1001001bprodukcji 0 1|0(bity o nieparzystej pozycji) i 1 0 0|1(bity o parzystej pozycji). Pierwsza wartość ma wielkość 01b = 1i powinna być uzupełniona do wartości końcowej ~1 = -2, a druga wartość ma wielkość 100b = 4i nie powinna być uzupełniana.

Nieformalne wykazanie poprawności

Zrobiłem program testowy, który umieszcza każde wejście od zera do określonej przez użytkownika liczby minus jeden w swoim miejscu wyjściowym na siatce 2D. Możesz spróbować również online . Oto wynik tego programu pokazujący, w jaki sposób algorytm mapuje 0-99:

      -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8

-8                      92 84 86 94                     
-7                      88 80 82 90                     
-6                      76 68 70 78                     
-5                   96 72 64 66 74 98                  
-4                60 52 28 20 22 30 54 62               
-3                56 48 24 16 18 26 50 58               
-2                44 36 12  4  6 14 38 46               
-1                40 32  8  0  2 10 34 42               
 0                41 33  9  1  3 11 35 43               
 1                45 37 13  5  7 15 39 47               
 2                57 49 25 17 19 27 51 59               
 3                61 53 29 21 23 31 55 63               
 4                   97 73 65 67 75 99                  
 5                      77 69 71 79                     
 6                      89 81 83 91                     
 7                      93 85 87 95                     
 8                                                      

Wzór wypełnienia wygląda trochę dziwnie, ale w rzeczywistości jest bolesny! Z każdą kolejną siłą 4, wypełnia kwadrat podwójną poprzednią długością boku. Na przykład oto sposób mapowania algorytmu 0-15:

      -2 -1  0  1  2

-2    12  4  6 14   
-1     8  0  2 10   
 0     9  1  3 11   
 1    13  5  7 15   
 2                  

To tworzy kwadrat 4x4 pośrodku kwadratu 8x8 0-63:

      -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4

-4    60 52 28 20 22 30 54 62   
-3    56 48 24 16 18 26 50 58   
-2    44 36 12  4  6 14 38 46   
-1    40 32  8  0  2 10 34 42   
 0    41 33  9  1  3 11 35 43   
 1    45 37 13  5  7 15 39 47   
 2    57 49 25 17 19 27 51 59   
 3    61 53 29 21 23 31 55 63   
 4                              

Co stanowi kwadrat 8x8 w środku kwadratu 16x16 0-255:

         -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5   6   7   8

 -8     252 244 220 212 124 116  92  84  86  94 118 126 214 222 246 254    
 -7     248 240 216 208 120 112  88  80  82  90 114 122 210 218 242 250    
 -6     236 228 204 196 108 100  76  68  70  78 102 110 198 206 230 238    
 -5     232 224 200 192 104  96  72  64  66  74  98 106 194 202 226 234    
 -4     188 180 156 148  60  52  28  20  22  30  54  62 150 158 182 190    
 -3     184 176 152 144  56  48  24  16  18  26  50  58 146 154 178 186    
 -2     172 164 140 132  44  36  12   4   6  14  38  46 134 142 166 174    
 -1     168 160 136 128  40  32   8   0   2  10  34  42 130 138 162 170    
  0     169 161 137 129  41  33   9   1   3  11  35  43 131 139 163 171    
  1     173 165 141 133  45  37  13   5   7  15  39  47 135 143 167 175    
  2     185 177 153 145  57  49  25  17  19  27  51  59 147 155 179 187    
  3     189 181 157 149  61  53  29  21  23  31  55  63 151 159 183 191    
  4     233 225 201 193 105  97  73  65  67  75  99 107 195 203 227 235    
  5     237 229 205 197 109 101  77  69  71  79 103 111 199 207 231 239    
  6     249 241 217 209 121 113  89  81  83  91 115 123 211 219 243 251    
  7     253 245 221 213 125 117  93  85  87  95 119 127 215 223 247 255    
  8                                                                        

Python 2, 49

Edycja: poprawiono do 49, stosując lepszą jednokrokową rekurencję dla bazy -2

def f(n):x,y=n and f(n/2)or(0,0);return n%2-2*y,x

Oto wersja Pyth używająca reduce.

Edycja: Poprawiono do 52 poprzez przejście do bazy -2 ze zbalansowanego trójskładnika .

Python 2, 52

h=lambda n:n and n%2-2*h(n/4)
lambda n:(h(n),h(n/2))

---

Python 2, 54

h=lambda n:n and-~n%3-1+3*h(n/9)
lambda n:(h(n),h(n/3))

Wykorzystuje to przeplatanie cyfr jak rozwiązanie Runer112 , ale ze zrównoważonym trójskładnikiem zamiast ze znakiem binarnym. Python nie ma wbudowanej konwersji podstawowej, więc kod implementuje go rekurencyjnie.

Funkcja pomocnika h(z 3zamiast 9) przyjmuje liczbę naturalną i konwertuje ją z trójskładnikowej na zrównoważoną trójskładnikową z podstawieniem cyfr

0 -> 0 
1 -> +1
2 -> -1

Na przykład 19, który ma 201 w podstawie, staje się (-1) (0) (+ 1) w zrównoważonej trójce, czyli (-1) * 3 ^ 2 + (0) * 3 ^ 1 + (+ 1) * 3 ^ 0 = -8.

Zrównoważone trójskładnikowe wystarcza do zakodowania każdej liczby całkowitej, a zatem daje odwzorowanie liczb naturalnych na liczby całkowite.

Aby odwzorować na pary liczb całkowitych, przeplatamy cyfry n. Aby to zrobić, hpatrzymy na każdą inną cyfrę, wykonując n/9raczej krok rekurencyjny niż n/3. Następnie, dla jednej współrzędnej, przesuwamy nprzez podział podłogi przez 3.

Oto pierwsze 81 wyników, które obejmują region [-4,4] ^ 2.

0 (0, 0)
1 (1, 0)
2 (-1, 0)
3 (0, 1)
4 (1, 1)
5 (-1, 1)
6 (0, -1)
7 (1, -1)
8 (-1, -1)
9 (3, 0)
10 (4, 0)
11 (2, 0)
12 (3, 1)
13 (4, 1)
14 (2, 1)
15 (3, -1)
16 (4, -1)
17 (2, -1)
18 (-3, 0)
19 (-2, 0)
20 (-4, 0)
21 (-3, 1)
22 (-2, 1)
23 (-4, 1)
24 (-3, -1)
25 (-2, -1)
26 (-4, -1)
27 (0, 3)
28 (1, 3)
29 (-1, 3)
30 (0, 4)
31 (1, 4)
32 (-1, 4)
33 (0, 2)
34 (1, 2)
35 (-1, 2)
36 (3, 3)
37 (4, 3)
38 (2, 3)
39 (3, 4)
40 (4, 4)
41 (2, 4)
42 (3, 2)
43 (4, 2)
44 (2, 2)
45 (-3, 3)
46 (-2, 3)
47 (-4, 3)
48 (-3, 4)
49 (-2, 4)
50 (-4, 4)
51 (-3, 2)
52 (-2, 2)
53 (-4, 2)
54 (0, -3)
55 (1, -3)
56 (-1, -3)
57 (0, -2)
58 (1, -2)
59 (-1, -2)
60 (0, -4)
61 (1, -4)
62 (-1, -4)
63 (3, -3)
64 (4, -3)
65 (2, -3)
66 (3, -2)
67 (4, -2)
68 (2, -2)
69 (3, -4)
70 (4, -4)
71 (2, -4)
72 (-3, -3)
73 (-2, -3)
74 (-4, -3)
75 (-3, -2)
76 (-2, -2)
77 (-4, -2)
78 (-3, -4)
79 (-2, -4)
80 (-4, -4)

Alternatywne kodowanie z ćwiartką urojoną okazało się dłuższe, choć jest bardzo ładne.

Python 2, 63

h=lambda n:n and n%4+2j*h(n/4)
lambda n:(h(n).real,h(n).imag/2)

W języku z mniej niezręczną obsługą skomplikowanych konwersji byłoby to prawdopodobnie lepsze podejście. Gdybyśmy mogli wyprowadzić liczby zespolone, moglibyśmy:

Python 2, 38

f=lambda n:n and n%2+n/2%2*1j-2*f(n/4)

Python 2, 98 bajtów

Zacznijmy od prostego podejścia:

def f(N):
 x=a=0;b=2
 while N:x+=1j**b;b+=a<1;a=a or b/2;N-=1;a-=1
 return int(x.real),int(x.imag)

Po prostu tworzy prostokątne Njednostki spiralne długie na siatce 2d, zaczynając od początku i zwraca współrzędne ostatniego punktu.

Ta funkcja jest dwuskładnikowa, ponieważ:

• Każdy punkt można pokryć, biorąc pod uwagę wystarczająco długą spiralę
• Każdy punkt zostanie przecięty tylko raz przez spiralę

Spirala wygląda mniej więcej tak (z wyjątkiem tego, że zaczyna się od 0 zamiast 1):

dc, 49

[1+2~2*1-*n]sm?dsa8*1+v1-2/dd1+*2/lar-dlmx32P-lmx

Zaczyna się to od ustawienia liczb całkowitych nieujemnych na siatce w następujący sposób:

..| 
4 | 14
3 |  9 13
2 |  5  8 12
1 |  2  4  7 11
0 |  0  1  3  6 10
Y +-----------------
  X  0  1  2  3  4 ...

Zauważ, że sposób wypełnienia pozycji siatki po przekątnej rosnącym N. Zauważ, że linia Y = 0 zawiera trójkątną sekwencję liczb, podaną przez N = X(X+1)/2. Jest to równanie kwadratowe, które rozwiązuje się za pomocą normalnego wzoru, używając tylko + ve pierwiastka, abyśmy mogli określić X z N, gdy Y = 0. Następnie jest kilka prostych tasowań arytmetycznych, które dają unikalne {X, Y} dla każdego N.

Zapewnia to wymaganą jakość podwójną, ale X i Y są tylko nieujemne, ale pytanie wymaga wszystkich możliwych liczb całkowitych. Więc X i Y są mapowane za pomocą, ((t+1)/2)*((t+1)~2*2-1)aby dać wszystkie możliwe liczby całkowite.

dcma dowolne liczby precyzji, więc zakres wejściowy do 2^31-1nie stanowi problemu. Zauważ też, że domyślna precyzja to 0 cyfr dziesiętnych sqrt()oraz /zaokrąglenie w dół, co jest wymaganym zachowaniem.

Wydajność:

$ for i in {0..10}; do dc biject.dc <<< $i; echo; done
0 0
0 -1
-1 0
0 1
-1 -1
1 0
0 -2
-1 1
1 -1
-2 0
0 2
$

Matlab, 54 bajty

n=input('')+1;[i,j]=find(spiral(2*n)==n);disp([i,j]-n)

Kluczem jest to spiral, że tworzy to macierz spiralną o dowolnym rozmiarze.

spiral(3)

zwraca

ans =

 7     8     9
 6     1     2
 5     4     3

spiral$4n^2$$n \simeq 10^4$$n \simeq 10^5$$2.9\cdot 10^{11}$$n=2^{32}$

Haskell, 78 74 bajtów

(concat[[(x,i-x),(x,x-1-i),(-1-x,x-1-i),(-1-x,i-x)]|i<-[0..],x<-[0..i]]!!)

Testowe uruchomienie:

*Main> mapM_ (print . (concat[[(x,i-x),(x,x-1-i),(-1-x,x-1-i),(-1-x,i-x)]|i<-[0..],x<-[0..i]]!!) ) [0..20]
(0,0)
(0,-1)
(-1,-1)
(-1,0)
(0,1)
(0,-2)
(-1,-2)
(-1,1)
(1,0)
(1,-1)
(-2,-1)
(-2,0)
(0,2)
(0,-3)
(-1,-3)
(-1,2)
(1,1)
(1,-2)
(-2,-2)
(-2,1)
(2,0)

Jak to działa: wypisz wszystkie pary w pierwszej ćwiartce w następującej kolejności

  |
 2| #4
  |
 1| #2  #5
  | 
 0| #1  #3  #6
  +---------------
     0   1   2   3 

odbij każdy punkt w pozostałych ćwiartkach, aby utworzyć listę 4 elementów. Połącz wszystkie w jedną listę i weź nelement th.

Edycja: funkcja nie potrzebuje nazwy, zmieniona matematyka. wyrażenia.

Haskell , 50 bajtów

(0!).succ
l!n=(last$(!).succ:[(,)|odd n])l$div n 2

Wypróbuj online lub wypróbuj odwrotnie!

Nie golfił

ntoN2 n = 0 ! (n + 1)

xCounter ! remainingNum
  | odd remainingNum = (xCounter, div remainingNum 2)
  | otherwise        = (xCounter + 1) ! div remainingNum 2

Wyjaśnienie

Wykorzystuje to fakt, że każdy $(x,y) \in \mathbb{N}^2$$2^x \cdot (2\cdot y + 1) - 1 \in \mathbb{N}$(!)$x$lxCountery

Zauważ, że faktyczna funkcja f( ntoN2) zwiększa dane wejściowe przed rozpoczęciem procedury.

05AB1E , 35 bajtów

>©DÝʒo®sÖ}àsÅÉʒ®sÖ}à<2÷‚εDÈi2÷ë>2÷(

Wypróbuj online! lub jako pakiet testowy

Wyjaśnienie

Rozważać

$$\begin{align*} f: \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} \\ n&\longmapsto (x,y)\, , \end{align*}$$ gdzie$x$jest największą liczbą, więc$2^x$dzieli$n+1$, a gdzie$2y+1$jest największą liczbą nieparzystą, która dzieli$n+1$. Odwrotnością$f$jest dobrze znany bijection$f^{-1}(x,y) = 2^x(2y+1)-1$

$$\begin{align*} g: \mathbb{N} \times \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \\ (m,n)&\longmapsto (h(m),h(n))\, , \end{align*}$$ $$\begin{align*} h: \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{Z} \\ n&\longmapsto \begin{cases}\frac n2, & n \text{ even}\\ -\frac{n+1}2, & n \text{ odd}\end{cases}\, . \end{align*}$$ Ponieważ wszystkie$f$,$g$i$h$są bijectjami, skład$g\circ f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

$g\circ f$

>©DÝʒo®sÖ}àsÅÉʒ®sÖ}à<2÷‚εDÈi2÷ë>2÷( # Full program

                                    # Implicit input: Integer n
>©                                  # Compute n+1 and save it to the register
  DÝ                                # Duplicate n+1 and push the list [0,...,n+1]
    ʒo®sÖ}                          # Only keep those numbers x so that 2^x divides n+1
          à                         # Get maximum element in the list.
           sÅÉ                      # Swap so that n+1 is on top and push [1,3,5,...,n+1]
              ʒ®sÖ}                 # Only keep those numbers z which divides n+1
                   à<2÷             # Compute y = (z-1)/2
                       ‚            # Push the pair [x,y]
                        ε           # Apply the function h to x (and y):
                           i        # if...
                         DÈ         # x is even
                            2÷      # then compute x/2
                              ë>2÷( # else compute -(x+1)/2
                                    # Implicit output: [h(x),h(y)]

Mathematica, 46

SortBy[Tuples[Range[2#]-#,2],Norm][[#]]&[#+1]&

Posortuj wektory według ich normy, a następnie weź tę n.

JavaScript, 166 168 bajtów / znaków

Nowe podejście z wykorzystaniem prostokątnej spirali, podobnie jak inni.

function f(n){return b=Math,k=b.ceil((b.sqrt(n)-1)/2),t=2*k+1,m=b.pow(t,2),t+=4,m-t>n?(m-=t,m-t>n?(m-=t,m-t>n?[k,k-(m-n-t)]:[-k+(m-n),k]):[-k,-k+(m-n)]):[k-(m-n),-k]}

Użyłem tego odpowiedzi na Math.SE, przetłumaczyłem ją na JS i skompresowałem za pomocą UglifyJS .

To podejście nie wykorzystuje żadnych pętli ani nie tworzy spirali w żaden sposób.

$f:\mathbb{N}^0\rightarrow \mathbb{Z}^2$

Aktualizacja: Saved 2 znaków, przechowując Mathw b.

t-=1t+=4$f(0)=f(8)$$\mathbb{N}^0$$0$