Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę całkowitą n wyjściową, suma pierwszych n cyfr dziesiętnych części ułamkowej π ⁿ .

Przykładowe dane wejściowe i wyjściowe:

1 → 1
2 → 14
3 → 6
4 → 13
5 → 24
50 → 211
500 → 2305
5000 → 22852

Wbudowane funkcje obliczające cyfry π lub oceniające albo szeregi mocy, albo ciągłe ułamki są niedozwolone. Obowiązują standardowe luki . Wejścia / wyjścia mogą mieć wygodny format (stdin, stdout, funkcja wejścia / wyjścia itp.).

Najkrótszy kod w bajtach wygrywa.

Python - 191 bajtów

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=range(n+1)
for k in range(2,n):A=[(A[j-1]+A[j+1])*j>>1for j in range(n-k+1)];f*=k
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

~ 4x szybsza wersja - 206 bajtów

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=[0,1]+[0]*n
for k in range(1,n):
 f*=k
 for j in range(-~n/2-k+1):A[j]=j*A[j-1]+A[j+1]*(j+2-n%2)
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

Dane wejściowe są pobierane ze standardowego wejścia. Wyjście dla n = 5000 zajmuje około 14s przy drugim skrypcie (lub 60s przy pierwszym).

Przykładowe użycie:

$ echo 1 | python pi-trunc.py
1

$ echo 2 | python pi-trunc.py
14

$ echo 3 | python pi-trunc.py
6

$ echo 4 | python pi-trunc.py
13

$ echo 5 | python pi-trunc.py
24

$ echo 50 | python pi-trunc.py
211

$ echo 500 | python pi-trunc.py
2305

$ echo 5000 | python pi-trunc.py
22852

Zastosowana formuła jest następująca:

gdzie A _n jest n- ^tą liczbą naprzemienną , którą można formalnie zdefiniować jako liczbę naprzemiennych permutacji w zbiorze wielkości n (patrz także: A000111 ). Alternatywnie sekwencja może być zdefiniowana jako kompozycja o numerach styczna siecznej liczb ( _2n = S _n , _{2n + 1} = T _n ), o tym później.

Mały współczynnik korygujący c _n szybko zbliża się do 1, gdy n staje się duży i jest określony przez:

Dla n = 1 oznacza to ocenę serii Leibniza . Zbliżenie π jako 10 ^pół liczba wymaganych warunków może być obliczona jako:

co zbiega się (w zaokrągleniu w górę) do 17 , chociaż mniejsze wartości n wymagają znacznie więcej.

Do obliczenia A _n istnieje kilka algorytmów, a nawet wyraźna formuła, ale wszystkie są kwadratowe według n . Pierwotnie kodowałem implementację algorytmu Seidela , ale okazuje się on zbyt wolny, aby był praktyczny. Każda iteracja wymaga zapisania dodatkowego terminu, a jego terminy bardzo szybko rosną („zły” rodzaj O (n ² ) ).

Pierwszy skrypt wykorzystuje implementację algorytmu pierwotnie podanego przez Knutha i Buckholtza :

Niech T _{1, k} = 1 dla wszystkich k = 1..n

Kolejne wartości T są podane przez relację powtarzalności:

T _{n + 1, k} = 1/2 [ (k - 1) T _{n, k-1} + (k + 1) T _{n, k + 1} ]

_N jest wstrzykiwany przez T _{n, 1}

(patrz także: A185414 )

Chociaż nie jest to wyraźnie określone, algorytm oblicza jednocześnie zarówno Liczby Styczne, jak i Liczby Secant. Drugi skrypt wykorzystuje odmianę tego algorytmu autorstwa Brenta i Zimmermanna , która oblicza T lub S , w zależności od parzystości n . Poprawa jest kwadratowa o n / 2 , stąd poprawa prędkości ~ 4x.

Python 2, 246 bajtów

Podjąłem podobne podejście do mojej odpowiedzi w Calculate π z kwadratową zbieżnością . Ostatnia linia przyjmuje N-tą potęgę pi i sumuje cyfry. Test N = 5000 zajmuje około minuty.

from decimal import*
d=Decimal
N=input()
getcontext().prec=2*N
j=d(1)
h=d(2)
f=h*h
g=j/h
a=j
b=j/h.sqrt()
t=j/f
p=j
for i in bin(N)[2:]:e=a;a,b=(a+b)/h,(a*b).sqrt();c=e-a;t-=c*c*p;p+=p
k=a+b
l=k*k/f/t
print sum(map(int,`l**N`.split('.')[1][:N]))

Niektóre testy:

$ echo 1 | python soln.py
1
$ echo 3 | python soln.py
6
$ echo 5 | python soln.py
24
$ echo 500 | python soln.py
2305
$ echo 5000 | python soln.py
22852

Nieskluczony kod:

from decimal import *
d = Decimal

N = input()
getcontext().prec = 2 * N

# constants:
one = d(1)
two = d(2)
four = two*two
half = one/two

# initialise:
a = one
b = one / two.sqrt()
t = one / four
p = one

for i in bin(N)[2:] :
    temp = a;
    a, b = (a+b)/two, (a*b).sqrt();
    pterm = temp-a;
    t -= pterm*pterm * p;
    p += p

ab = a+b
pi = ab*ab / four / t
print sum(map(int, `pi ** N`.split('.')[1][:N]))

Pyth, 33

s<>j^u+/*GHhyHy^TyQr*TQ0ZQT_y*QQQ

Na podstawie tej odpowiedzi Isaacg . Prawdopodobnie można by grać w golfa więcej. Powolny.

s<>j            Digit sum of...
  ^                 
    u               Evaluate pi = 2 + 1/3*(2 + 2/5*(2 + 3/7*(2 + 4/9*(2 + ...))))
      +
        /
          *GH
          hyH
        y^TyQ       Except we generate a large integer containing 2n digits,
                    rather than a fraction.
      r*TQ0         Experimentally verified that 10*n iterations will give enough
                    precision for 2n digits (# digits correct grows faster than 2n).
      Z
    Q               To the nth power.
  T_y*QQQ         Get the last 2n^2 digits (all the fractional digits) and get the
                  first n fractional digits.