Napisz funkcję lub pełny program, który przyjmuje liczbę dodatnią ni wykonuje nkroki iteracyjnego algorytmu obliczania π, który ma kwadratową zbieżność (tzn. W przybliżeniu podwaja liczbę dokładnych cyfr przy każdej iteracji), a następnie zwraca lub drukuje 2 ⁿ poprawnych cyfr (w tym początek 3). Jednym z takich algorytmów jest algorytm Gaussa-Legendre'a , ale możesz dowolnie używać innego algorytmu.

Przykłady:

wejście 1→ wyjście 3.1
wejście 2→ wyjście 3.141
wejście 5→ wyjście3.1415926535897932384626433832795

Wymagania:

• Każda iteracja algorytmu musi wykonywać stałą liczbę podstawowych operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, moc i pierwiastek (z wykładnikiem liczby całkowitej / stopniem) - każda taka operacja na „dużej” liczbie całkowitej / dziesiętnej jest liczona jako jedna parzysta jeśli obejmuje wewnętrznie jedną lub więcej pętli. Dla jasności funkcje trygonometryczne i potęgi obejmujące liczby zespolone nie są podstawowymi operacjami.
• Algorytm powinien mieć krok inicjalizacji, który musi również mieć stałą liczbę operacji.
• Jeśli algorytm potrzebuje 1 lub 2 kolejnych iteracji, aby uzyskać 2 ⁿ poprawnych cyfr, możesz wykonać do n+2iteracji zamiast po prostu n.
• Jeśli nie było wystarczająco jasne, po poprawnych 2 ⁿ cyfrach, twój program nie może drukować niczego innego (np. Więcej poprawnych cyfr, błędnych cyfr lub kompletnych dzieł Szekspira).
• Twój program musi obsługiwać wartości nod 1 do co najmniej 20.
• Twój program nie powinien zająć więcej niż godzinę na n= 20 na nowoczesnym komputerze (nie jest to trudna zasada, ale staraj się, aby była rozsądna).
• Program nie może uzyskać więcej niż 20 dokładnych cyfr po inicjalizacji i pierwszej iteracji algorytmu.
• Program musi być uruchamiany w systemie Linux przy użyciu ogólnodostępnego oprogramowania.
• Kod źródłowy musi używać tylko znaków ASCII.

Punktacja:

Prosty kod golfowy, najkrótszy kod wygrywa.

Zwycięzca:

Zwycięzcą jest Digital Trauma, wreszcie skończyłem uruchamiać jego kod na n = 20 (tylko żartowałem). Nagrodę specjalną otrzymuje primo za bardzo szybkie rozwiązanie w Pythonie i inny algorytm :)

dc, 99 bajtów

Gra w golfa:

2?dsi1+^k1dddsa2v/sb4/stsp[lalb*vlalb+2/dla-d*lp*ltr-stsasblp2*spli1-dsi0<m]dsmxK2/1-klalb+d*4lt*/p

Z białymi znakami i komentarzami do „czytelności”:

2?dsi               # Push 2. push input n, duplicate and store in i
1+^k                # Set calculation precision to 2^(n+1)
1dddsa              # Push four 1s. Store 1st in a
2v/sb               # Store 1/sqrt(2) in b
4/st                # Store 1/4 in t
sp                  # Store 1 in p
[                   # Start iteration loop macro
lalb*v              # Save sqrt(a*b) on stack
lalb+2/d            # Save a[i+1] = (a[i]+b[i])/2 on stack and duplicate
la-d*lp*ltr-        # Save t-p(a[i]-a[i+1])^2 on the stack
st                  # Store t result from stack
sa                  # Store a result from stack
sb                  # Store b result from stack
lp2*sp              # Store 2p in p
li1-dsi0<m]         # Decrement iteration counter i; recurse into macro if < 0
dsmx                # Duplicate, store and run macro
K2/1-k              # Set display precision to 2^n-1
lalb+d*4lt*/        # Save (a+b)^2/4t on stack
p                   # Print result

dcnależy powiedzieć, ile cyfr precyzji należy użyć. Precyzja obliczeń musi być wyższa niż końcowa precyzja wyświetlania, więc dokładność obliczeń jest ustawiona na 2^(n+1)cyfry. Sprawdziłem dokładność danych wyjściowych za pomocą n = 10 w porównaniu z http://www.angio.net/pi/digits/pi1000000.txt .

Spowalnia to dramatycznie dla większych n; n = 12 trwa 1,5 minuty na mojej maszynie wirtualnej. Uruchomienie kilku różnych próbek pokazuje, że złożoność czasu wynosi O (e ^ n) (nic dziwnego). Ekstrapolacja tego na n = 20 miałaby czas działania 233 dni. No cóż. Przynajmniej lepsze niż śmierć wszechświata.

Jest to gra w golfa w umiarkowanym stopniu - stos służy do eliminacji zmiennych tymczasowych podczas obliczania każdej iteracji, ale możliwe, że stos jest w większym stopniu wykorzystywany do skrócenia tego.

$ dc glpi.dc <<< 1
3.1
$ dc glpi.dc <<< 2
3.141
$ dc glpi.dc <<< 5
3.1415926535897932384626433832795
$ time dc glpi.dc <<< 7
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078\
164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446

real    0m0.048s
user    0m0.039s
sys 0m0.000s
$ 

Jeśli nie lubisz dcowijania danych wyjściowych przy 70 znakach, możesz ustawić zmienną środowiskową DC_LINE_LENGTHna 0:

$ DC_LINE_LENGTH=0 dc glpi.dc <<< 8
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648
$ 

R, 156 bajtów

Rozpocznijmy tę imprezę ... od absolutnie naiwnej implementacji algorytmu Gaussa-Legendre'a.

for(i in 1:scan()){if(i<2){a=p=Rmpfr::mpfr(1,2e6);t=a/4;b=t^t}else{x=(a+b)/2;b=(a*b)^.5;t=t-p*(a-x)^2;a=x;p=2*p};o=(a+b)^2/(4*t)};cat(Rmpfr::format(o,2^i))

Niegolfowane + wyjaśnienie:

# Generate n approximations of pi, where n is read from stdin
for (i in 1:scan()) {

    # Initial values on the first iteration
    if (i < 2) {
        a <- p <- Rmpfr::mpfr(1, 1e7)
        t <- a/4
        b <- t^t
    } else {
        # Compute new values
        x <- (a + b) / 2
        b <- (a*b)^0.5
        t <- t - p*(a - x)^2

        # Store values for next iteration
        a <- x
        p <- 2*p
    }

    # Approximate pi 
    o <- (a + b)^2 / (4*t)
}

# Print the result with 2^n digits
cat(Rmpfr::format(o, 2^i))

Ta mpfr()funkcja jest częścią Rmpfrpakietu. Tworzy mpfrobiekt, używając pierwszego argumentu jako wartości, a drugiego argumentu jako liczby bitów dokładności. Przypisujemy ai pdo 1, a definiując tna podstawie a(i bna podstawie t), mpfrtyp propaguje się do wszystkich czterech zmiennych, utrzymując przez to precyzję w całym tekście.

Jak wspomniano, wymaga to pakietu R. Rmpfr , który jest akronimem „R Multiple Precision Floating point Reliable”. Pakiet używa GMP w tle. Niestety podstawa R nie ma możliwości wykonywania precyzyjnej arytmetyki, stąd zależność od pakietu.

Nie masz Rmpfr? Bez potu install.packages("Rmpfr")i wszystkie twoje marzenia się spełnią.

Zauważ, że 2e6została podana jako precyzja. Oznacza to, że mamy 2 000 000 bitów precyzji, co wystarcza do utrzymania precyzji przez co najmniej n= 20. (Uwaga: n= 20 zajmuje dużo czasu, ale mniej niż godzinę na moim komputerze).

Podejście tutaj jest dosłownie regurgitacją formuł na stronie Wikipedii, ale hej, musimy gdzieś zacząć.

Wszelkie uwagi są mile widziane, jak zawsze!

Musiałem przepisać dużo tego, ale wciąż muszę przyznać, że Peter Taylor pomógł mi zrzucić 70 bajtów z mojego pierwszego wyniku.

Python 2, 214 bajtów

To wyzwanie stanowiło dla mnie dobrą wymówkę do nauki modułu dziesiętnego. Liczby dziesiętne mają określoną dokładność i obsługują pierwiastek kwadratowy. Ustawiłem precyzję na konserwatywne oszacowanie dokładności w zależności od liczby pętli.

Aktualizacja

Zaktualizowałem program, aby poprawić dokładność i szybkość kosztem gry w golfa. Dzięki zastosowaniu sqrt()metody dziesiętnej i zamianie x**2użycia x*xjest teraz 200 razy szybsza. Oznacza to, że może teraz obliczyć 20 pętli, dając wynik o wartości miliona cyfr w 6,5 godziny. Liczby dziesiętne często mają błąd w ostatniej cyfrze (spowodowany operacjami na granicy precyzji), więc program używa teraz i odrzuca 5 dodatkowych cyfr, aby drukowane były tylko dokładne cyfry.

from decimal import*
d=Decimal
e=input()
getcontext().prec=5+(1<<e)
k=d(1)
j=d(2)
g=j*j
h=k/j
a=k
b=k/j.sqrt()
t=k/g
p=k
for i in[0]*e:f=a;a,b=(a+b)/j,(a*b).sqrt();c=f-a;t-=c*c*p;p+=p
l=a+b
print str(l*l/g/t)[:-5]

Przykładowy przebieg:

$ echo 1 | python min.py 
3.1
$ echo 2 | python min.py 
3.141
$ echo 3 | python min.py 
3.1415926
$ echo 5 | python min.py 
3.1415926535897932384626433832795
$ echo 12 | python min.py
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208
99862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745
02841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831
65271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588
17488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160
94330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527
24891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702
77053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960
91736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219
60864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318
59502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320
83814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805
32171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827
96823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069
59508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240
12858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534
64620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243
00355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150
30286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755
96023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380
00816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494
68438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671
79049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006
42251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949
45047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590
09946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264
01363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583
87410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431
04997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388439045124413654976
27807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285
06016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498
03559363456817432411251507606947945109659609402522887971089314566913686722874894
05601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848
21682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867
82105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993
44037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484
81005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015
91956181467514269123974894090718649423196156794520809514655022523160388193014209
37621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492
02605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268
56100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043903975951567
71577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791
98414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274858322287
18352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163
98315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185
35893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309
92448895757128289059232332609729971208443357326548938239119325974636673058360414
28138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380
19762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243
34418930396864262434107732269780280731891544110104468232527162010526522721116603
96665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007
29360659876486117

Nieskluczony kod:

from decimal import *
d = Decimal

loops = input()
# this is a conservative estimate for precision increase with each loop:
getcontext().prec = 5 + (1<<loops)

# constants:
one = d(1)
two = d(2)
four = two*two
half = one/two

# initialise:
a = one
b = one / two.sqrt()
t = one / four
p = one

for i in [0]*loops :
    temp = a;
    a, b = (a+b)/two, (a*b).sqrt();
    pterm = temp-a;
    t -= pterm*pterm * p;
    p += p

ab = a+b
print str(ab*ab / four / t)[:-5]

Python (2.7) - 131 bajtów

from gmpy import*
n=input()
p=a=fsqrt(mpf(8,4<<n));b=0
exec"a=fsqrt(a/2);b=1/(a-a*b+b/a+1);p*=b+a*a*b;a+=1/a;"*n
print`p`[5:2**n+6]

Aktualizacja: Teraz używa gmpyzamiast gmpy2. Z jakiegokolwiek powodu, gmpy2ustawienie precyzji na pojedynczą wartość nie przenosi się na inne wartości. Wynik każdego obliczenia powraca do dokładności bieżącego kontekstu. Precyzja się rozprzestrzenia gmpy, co wydaje mi się bardziej intuicyjne. Jest również znacznie mniej gadatliwy.

Używając jednego z wielu algorytmów opracowanych przez Borweina i Borweina , nieco przebudowano. n = 20 zajmuje około 11 sekund na moim pudełku. Nie jest to najbardziej wydajna metoda, ale nadal niezła.

Refaktoryzacja

Oryginalny algorytm był następujący:

Refaktoryzacja została wykonana stopniowo, ale końcowy wynik jest taki

Główne uproszczenie występuje w p _{n + 1} . Jest również nieco szybszy dzięki wyeliminowaniu podziału.

Obecna implementacja popycha _N- tyłu jednej iteracji w celu obliczenia p _{n + 1} , co pozwala na innym inicjalizacji p ₀ ( 2√2 ), ale pod innymi względami identyczna.

Przykładowe użycie

$ echo 1 | python pi-borwein.py
3.1

$ echo 2 | python pi-borwein.py
3.141

$ echo 5 | python pi-borwein.py
3.1415926535897932384626433832795

$ echo 10 | python pi-borwein.py
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278

bc i metoda Newtona, 43 bajty

Metoda Newtona znajdowania zer dowolnej funkcji jest zbieżna kwadratowo, a algorytm jest znacznie prostszy niż w przypadku Gaussa-Legendre'a. Zasadniczo sprowadza się do:

Oto poniższy fragment kodu:

n=20;x=3;scale=2^n;while(n--)x-=s(x)/c(x);x

Trochę bardziej czytelny:

/* desired number of iterations */
n = 20;

/* starting estimate for pi */
x = 3;

/* set precision to 2^n */
scale = 2^n;

/* perform n iteration steps */
while(n--)
  // f:=sin, f'=cos
  x -= s(x)/c(x)

Aby to przetestować, uruchom bc -lw powłoce i wklej powyższy fragment kodu. Przygotuj się na chwilę; n=20działa już od około 5 minut i jeszcze nie ma końca. n=10zajmuje około 40 lat.