Warunki

Robak jest jakaś lista nieujemnych liczb całkowitych, a jej skrajna (czyli ostatni ) element jest nazywany głowy . Jeśli głowa nie jest równa 0, robak ma aktywny segment składający się z najdłuższego ciągłego bloku elementów, który obejmuje głowę i ma wszystkie swoje elementy co najmniej tak duże jak głowa . Zredukowany odcinek czynny jest aktywny segment z głowicą zmniejszana o 1. Na przykład, wirus 3 1 2 3 2zawiera aktywny fragment 2 3 2, a zredukowany odcinek czynny 2 3 1.

Zasady ewolucji

Robak ewoluuje krok po kroku w następujący sposób:

W kroku t (= 1, 2, 3, ...),
    jeśli głowa ma wartość 0: usuń głowę
    inaczej: zamień aktywny segment na t + 1 konkatenowane kopie zredukowanego aktywnego segmentu.

Fakt : Każdy robak ostatecznie ewoluuje na pustą listę , a liczba kroków, które należy wykonać, to żywotność robaka .

(Szczegóły można znaleźć w dokumencie The Worm Principle , pracy LD Beklemisheva. Użycie „listy” w celu oznaczenia skończonej sekwencji i „głowy” w celu oznaczenia jej ostatniego elementu pochodzi z tego artykułu - nie należy tego mylić z powszechnym użyciem list jako abstrakcyjnego typu danych , gdzie head zwykle oznacza pierwszy element.)

Przykłady (aktywny segment w nawiasach)

Robak: 0,1

step    worm
         0(1)
1        0 0 0
2        0 0 
3        0
4           <- lifetime = 4

Robak: 1,0

step    worm
         1 0
1       (1)
2        0 0 0
3        0 0 
4        0
5           <- lifetime = 5

Robak: 1,1

step    worm
        (1 1)
1        1 0 1 0 
2        1 0(1) 
3        1 0 0 0 0 0
4        1 0 0 0 0
5        1 0 0 0
...
8       (1) 
9        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10       0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
18       0
19           <- lifetime = 19

Robak: 2

step    worm
        (2)
1       (1 1)
2        1 0 1 0 1 0
3        1 0 1 0(1)
4        1 0 1 0 0 0 0 0 0
5        1 0 1 0 0 0 0 0
6        1 0 1 0 0 0 0
...
10       1 0(1)
11       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
24      (1)
25       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
50       0
51          <- lifetime = 51

Robak: 2,1

        (2 1)
1        2 0 2 0
2        2 0(2)
3        2 0(1 1 1 1)
4        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
5        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0(1 1 1)
6        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
7        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0(1 1)
8        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0{1 0}^9
...
??          <- lifetime = ??      

Robak: 3

step    worm
        (3)
1       (2 2)
2       (2 1 2 1 2 1)
3        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 
4        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1(2)
5        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0(2 1 2 1 1 1 1 1 1 1)
6        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0{2 1 2 1 1 1 1 1 1 0}^7
7        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0{2 1 2 1 1 1 1 1 1 0}^6 (2 1 2 1 1 1 1 1 1) 
...      ...
??          <- lifetime = ??

Na bok

Czas życia robaka jest zwykle ogromny, co pokazują poniższe dolne granice w kategoriach standardowej szybko rosnącej hierarchii funkcji f _α :

worm                lower bound on lifetime
----------------    ------------------------------------------
11..10 (k 1s)       f_k(2)
2                   f_ω(2)
211..1 (k 1s)       f_(ω+k)(2)
2121..212 (k 2s)    f_(ωk)(2)
22..2 (k 2s)        f_(ω^k)(2)
3                   f_(ω^ω)(2)
...
n                   f_(ω^ω^..^ω)(2) (n-1 ωs)  >  f_(ε_0) (n-1)

Co ciekawe, robak [3] ma już żywotność znacznie przewyższającą liczbę Grahama , G:

f _{ω ^ω} (2) = f _{ω ²} (2) = f _ω2 (2) = f _{ω + 2} (2) = f _{ω + 1} (f _{ω + 1} (2)) >> f _{ω + 1} (64) > G.

Code Golf Challenge

Napisz możliwie najkrótszy podprogram funkcji o następującym działaniu:

Dane wejściowe : dowolny robak.
Dane wyjściowe : czas życia robaka.

Rozmiar kodu jest mierzony w bajtach.

Oto przykład (Python, golf do około 167 bajtów):

from itertools import *
def T(w):
    w=w[::-1]
    t=0
    while w:
        t+=1
        if w[0]:a=list(takewhile(lambda e:e>=w[0],w));a[0]-=1;w=a*(t+1)+w[len(a):]
        else:w=w[1:]
    return t

NB : Jeśli t (n) jest okresem życia robaka [n], wówczas tempo wzrostu t (n) jest mniej więcej takie samo jak funkcja Goodsteina . Więc jeśli można to grałem poniżej 100 bajtów, to może dobrze dać zwycięską odpowiedź na największą liczbę druku pytanie . (W przypadku tej odpowiedzi tempo wzrostu można znacznie przyspieszyć, zawsze uruchamiając licznik kroków od n - tej samej wartości co robak [n] - zamiast od 0).

GolfScript ( 56 54 znaków)

{-1%0\{\)\.0={.0+.({<}+??\((\+.@<2$*\+}{(;}if.}do;}:L;

Demo online

Myślę, że kluczową sztuczką jest prawdopodobnie utrzymanie robaka w odwrotnej kolejności. Oznacza to, że znalezienie długości aktywnego segmentu jest dość kompaktowe: .0+.({<}+??(gdzie 0dodaje się go jako osłonę, aby upewnić się, że znajdziemy element mniejszy niż głowa).

Na marginesie, niektóre analizy długości życia robaka. Będę oznaczamy jako robaka age, head tail(czyli w odwrotnej kolejności od notacji Pytanie za) przy użyciu wykładników wskazać powtórzenia w głowę i ogon: na przykład 2^3jest 2 2 2.

Lemat : dla każdego aktywnego segmentu xsistnieje taka funkcja f_xs, która age, xs 0 tailprzekształca się w f_xs(age), tail.

Dowód: żaden aktywny segment nie może nigdy zawierać 0, więc wiek do czasu usunięcia wszystkiego, zanim ogon jest niezależny od ogona, a zatem jest tylko funkcją xs.

Lemma : dla każdego aktywnego segmentu xsrobak age, xsumiera w wieku f_xs(age) - 1.

Dowód: z poprzedniego lematu age, xs 0przekształca się w f_xs(age), []. Ostatnim krokiem jest usunięcie tego 0, czego wcześniej nie dotykano, ponieważ nigdy nie może ono stanowić części aktywnego segmentu.

Dzięki tym dwóm lematom możemy badać proste proste segmenty.

dla n > 0,

age, 1^n 0 xs -> age+1, (0 1^{n-1})^{age+1} 0 xs
              == age+1, 0 (1^{n-1} 0)^{age+1} xs
              -> age+2, (1^{n-1} 0)^{age+1} xs
              -> f_{1^{n-1}}^{age+1}(age+2), xs

tak f_{1^n} = x -> f_{1^{n-1}}^{x+1}(x+2)(z przypadkiem podstawowym f_{[]} = x -> x+1lub jeśli wolisz f_{1} = x -> 2x+3). Widzimy, że f_{1^n}(x) ~ A(n+1, x)gdzie Ajest funkcja Ackermanna – Pétera.

age, 2 0 xs -> age+1, 1^{age+1} 0 xs
            -> f_{1^{age+1}}(age+1)

To wystarczy, aby sobie poradzić 1 2( 2 1w notacji pytania):

1, 1 2 -> 2, 0 2 0 2
       -> 3, 2 0 2
       -> f_{1^4}(4), 2
       -> f_{1^{f_{1^4}(4)+1}}(f_{1^4}(4)+1) - 1, []

Biorąc pod uwagę dane wejściowe 2 1, oczekujemy wyników ~ A(A(5,4), A(5,4)).

1, 3 -> 2, 2 2
     -> 3, 1 2 1 2 1 2
     -> 4, 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
     -> 5, 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
     -> f_{21212}^4(5) - 1

age, 2 1 2 1 2 -> age+1, (1 1 2 1 2)^{age+1}
               -> age+2, 0 1 2 1 2 (1 1 2 1 2)^age
               -> age+3, 1 2 1 2 (1 1 2 1 2)^age

i naprawdę mogę zacząć rozumieć, dlaczego ta funkcja rośnie tak niesamowicie.

GolfScript, 69 62 znaków

{0:?~%{(.{[(]{:^0=2$0+0=<}{\(@\+}/}{,:^}if;^?):?)*\+.}do;?}:C;

Ta funkcja Coczekuje robaka na stosie i zastępuje go wynikiem.

Przykłady:

> [1 1]
19

> [2]
51

> [1 1 0]
51

Ruby - 131 znaków

Wiem, że to nie może konkurować z powyższymi rozwiązaniami GolfScript i jestem całkiem pewien, że można zmniejszyć wynik lub więcej postaci, ale szczerze mówiąc, cieszę się, że mogłem rozwiązać problem nierozwiązany. Świetna łamigłówka!

f=->w{t=0;w.reverse!;until w==[];t+=1;if w[0]<1;w.shift;else;h=w.take_while{|x|x>=w[0]};h[0]-=1;w.shift h.size;w=h*t+h+w;end;end;t}

Moje rozwiązanie do gry w golfa, z którego wywodzi się powyższe:

def life_time(worm)
  step = 0
  worm.reverse!
  until worm.empty?
    step += 1
    if worm.first == 0
      worm.shift
    else
      head = worm.take_while{ |x| x >= worm.first }
      head[0] -= 1
      worm.shift(head.size)
      worm = head * (step + 1) + worm
    end
  end
  step
end

Sclipting (43 znaki)

글坼가⑴감套擘終長①加⒈丟倘⓶增⓶가采⓶擘❷小終⓷丟❶長貶❷가掊貶插①增復合감不가終終

To oczekuje danych wejściowych jako listy rozdzielonej spacjami. To daje poprawną odpowiedź na 1 1i 2, ale na 2 1lub 3to trwa zbyt długo, więc zrezygnowałem z czekania na jej zakończenie.

Z komentarzem:

글坼 | split at spaces
가⑴ | iteration count = 0

감套 | while:
  擘終長①加⒈丟 | remove zeros from end and add to iteration count
  倘 | if the list is not empty:
    ⓶增⓶ | increment iteration count
    가采⓶擘❷小終⓷丟 | separate out active segment
    ❶長貶❷가掊貶插 | compute reduced active segment
    ①增復合 | repeat reduced active segment and concat
    감 | continue while loop
  不 | else
    가 | stop while loop
  終 | end if
終 | end while

k (83)

worm:{-1+*({x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}.)/(1;|,/x)}

prawdopodobnie można to jeszcze pograć w golfa, ponieważ po prostu implementuje on nawrót dość prosto.

podstawowa funkcja ewolucji {x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}, to 65 znaków, i wykorzystuje pewne sztuczki, aby przestać zwiększać wiek, w którym umiera robak. opakowanie wymusza wprowadzenie pojedynczej liczby całkowitej na listę, odwraca dane wejściowe (krótsze jest napisanie rekurencji pod względem robaka odwróconego od notacji), prosi o punkt stały, wybiera wiek jako wynik i dostosowuje wynik w celu uwzględnienia przekroczenia w ostatnim pokoleniu.

jeśli zrobię przymus i odwrócenie ręcznie, spada do 80 ( {-1+*({x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}.)/(1;x)}).

kilka przykładów:

  worm 1 1 0
51
  worm 2
51
  worm 1 1
19

Niestety, prawdopodobnie nie ma większego zastosowania w przypadku największej liczby drukowalnych liczb , z wyjątkiem bardzo teoretycznego znaczenia, ponieważ jest dość powolny, ograniczony do 64-bitowych liczb całkowitych i prawdopodobnie nie jest szczególnie wydajny pod względem pamięci.

w szczególności worm 2 1i worm 3po prostu rezygnować (i prawdopodobnie rzuciłbym 'wsfull(z pamięci), jeśli pozwolę im iść dalej).

APL (Dyalog Unicode) , 52 bajty ^SBCS

Zaoszczędzono 7 bajtów dzięki @ngn i @ Adám.

0{⍬≡⍵:⍺⋄n←⍺+1⋄0=⊃⍵:n∇1↓⍵⋄n∇∊(⊂1n/-∘1@1¨)@1⊆∘⍵⍳⍨⌊\⍵}⌽

Wypróbuj online!

Wyjaśnienie:

0{...}⌽    ⍝ A monadic function train. We define a recursive function with two
           ⍝ arguments: zero (our counter), and the reverse of our input
⍬≡⍵:⍺      ⍝ Our base case - if our input is an empty list, return our counter
n←⍺+1      ⍝ Define 'n' as our counter plus 1
0=⊃⍵:n∇1↓⍵ ⍝ If the first element of the input is zero, recurse with the tail
           ⍝ of our input and n
⌊\⍵        ⍝ Minimum-expand: creates a new list from our input where each element
           ⍝ is the incremental minimum     
⍳⍨         ⍝ Applies above to both sides of the index-of function. Index-of returns
           ⍝ the index of the first occurence of each element in the left-side list.
           ⍝ At this point, a (reversed) input list of [3 4 5 2 3 4] would result
           ⍝ in [1 1 1 4 4 4]
⊆∘⍵        ⍝ Partition, composed with our input. Partition creates sublists of the
           ⍝ right input whenever the integer list in the left input increases.
           ⍝ This means we now have a list of sub-lists, with the first element
           ⍝ being the worm's active segment.
(...)@1    ⍝ Take the active segment and apply the following function train...
-∘1@1¨     ⍝ Subtract 1 from the first element of the active segment
1n/        ⍝ Replicate the resultant list above n+1 times
⊂          ⍝ Enclose the above, so as to keep the original shape of our sub-array
∊          ⍝ Enlist everything above together - this recursively concatenates our
           ⍝ new active segment with the remainder of the list
n∇         ⍝ Recurse with the above and n

Scala, 198

type A=List[Int]
def T(w:A)={def s(i:Int,l:A):Stream[A]=l match{case f::r=>l#::s(i+1,if(f<1)r
else{val(h,t)=l.span(_>=l(0));List.fill(i)(h(0)-1::h.tail).flatten++t})
case _=>Stream()};s(2,w).length}

Stosowanie:

scala> T(List(2))
res0: Int = 51

K, 95

{i::0;#{~x~,0}{((x@!b),,[;r]/[i+:1;r:{@[x;-1+#x;-1+]}@_(b:0^1+*|&h>x)_x];-1_x)@0=h:*|x:(),x}\x}

.

k)worm:{i::0;#{~x~,0}{((x@!b),,[;r]/[i+:1;r:{@[x;-1+#x;-1+]}@_(b:0^1+*|&h>x)_x];-1_x)@0=h:*|x:(),x}\x}
k)worm 2
51
k)worm 1 1
19
q)worm 1 1 0 0 0 0
635

C (gcc) , 396 bajtów

#define K malloc(8)
typedef*n;E(n e,n o){n s=K,t=s;for(*s=*o;o=o[1];*t=*o)t=t[1]=K;t[1]=e;e=s;}main(c,f,l,j,a)n*f;{n w=K,x=w;for(;l=--c;x=x[1]=K)*x=atoi(f[c]);for(;w&&++l;)if(*w){n v=K,z=v,u=w,t=K;for(a=*v=*w;(u=u[1])&&*u>=*w;*z=*u)z=z[1]=K;for(x=v[1],v=K,*v=a-1,1[u=v]=x;u;u=u[1])w=w[1];for(j=~l;j++;)u=t=E(t,v);for(;(u=u[1])&&(x=u[1])&&x[1];);u[1]=0;w=w?E(w,t):t;}else w=w[1];printf("%d",--l);}

Wypróbuj online!

Wiem, że jestem wyjątkowo spóźniony na imprezę, ale pomyślałem, że spróbuję tego w C, co wymagało implementacji listy połączonej. To wcale nie jest gra w golfa oprócz zmiany wszystkich identyfikatorów na pojedyncze znaki, ale działa!

Podsumowując, jestem bardzo szczęśliwy, biorąc pod uwagę, że jest to trzeci program C / C ++, jaki kiedykolwiek napisałem.

Haskell , 84 bajty

(0!).reverse
n!(x:y)|x<1=(n+1)!y|(a,b)<-span(>=x)y=(n+1)!(([-1..n]*>x-1:a)++b)
n!_=n

Wypróbuj online!

Dzięki @xnor za dwa bajty.

Wydaje mi się, że powinien istnieć dobry sposób na obliczenie wspólnego przyrostu, ale nie znalazłem jeszcze krótkiego.

Perl 5 -pa , 92 bajtów

while(@F){++$\;my@a;if($b=pop@F){unshift@a,pop@F while$F[-1]>=$b;push@F,(@a,--$b)x($\+1)}}}{

Wypróbuj online!

Stax , 31 bajtów

àîz7αan♣óàNµK2☻₧⌡▐`Γl½f{♂♂_KZÖÄ

Uruchom i debuguj