Biorąc pod uwagę dodatkową piramidę , określ, czy można ją rozwiązać. Piramida dodatkowa składa się z warstw , z których każda ma jedną liczbę mniejszą niż ta pod nią. Warstwa jest symbolizowana jako . to warstwa podstawowa, a to warstwa na szczycie . Numer th jest oznaczona jako . to liczba po lewej stronie , a to liczba po prawej stronie . Możesz wizualizować znajdujący się na szczycie$P$i P i P 1 P i + 1 P i j P i P i , j P i , 1 P i P i , j + 1 P i , j P i + 1 , j P i , j$i$$P_i$$P_1$$P_{i+1}$$P_i$$j$$P_i$$P_{i,j}$$P_{i,1}$$P_i$$P_{i,j+1}$$P_{i,j}$$P_{i+1,j}$$P_{i,j}$i na środku, stąd nazwa „ piramida dodawania ”.$P_{i,j+1}$

• $\forall P_{i,j},P_{i,j}\in\mathbb N^*$ , czyli każda liczba w piramidzie jest niezerową liczbą całkowitą dodatnią.
• $\forall i>1,P_{i,j}=P_{i-1,j}+P_{i-1,j+1}$ , co oznacza, że ​​każda liczba spoza warstwy podstawowej piramidy jest sumą dwie liczby poniżej.
• Jeśli ma liczb, ma liczb, dlatego jest najbardziej liczbą . Mówiąc prościej, każda warstwa ma jedną liczbę mniejszą niż warstwa pod nią.$P_1$$n$$P_i$$n-i+1$$P_{i,n-i+1}$$P_i$

Dodanie piramidy logiczna stanowi piramidy dodanie niektórych liczby usuniętych (zastąpione ). Jego rozwiązaniem jest piramida dodawania , w której , czyli liczby, które pierwotnie były obecne w pozostały niezmienione. Taka łamigłówka może mieć więcej niż jedno rozwiązanie.$Q$$?$$P$$\forall Q_{i,j}\ne{?},P_{i,j}=Q_{i,j}$

Twoim zadaniem jest, biorąc pod uwagę piramidę dodania, ustalić, czy ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Wejście

Możesz uzyskać dane wejściowe w dowolnej z następujących form, ale zachowaj spójność:

• Tablica warstw.
• Układ warstw, w kształcie piramidy, wykorzystujący stałą wartość całkowitą nie dodatnią jako separator między elementami (używanymi tylko raz za każdym razem), a także lewe i prawe wypełnienie. Separator i wypełnienie muszą być takie same.
• Tablica warstw ze spójną poprawną prawą lub lewą wyściółką (musisz być spójny i nie mieszać prawej i lewej wyściółki).

Należy pamiętać, że do reprezentowania brakującej liczby należy użyć stałej wartości, która nie jest ściśle dodatnią liczbą całkowitą; tej wartości nie można użyć jako dopełnienia. Możesz także wziąć połączone warstwy (nadal możesz je rozdzielić), a kolejność może być od podstawy do góry lub od góry do podstawy.

Wynik

Jedna z dwóch spójnych odrębnych wartości, gdzie jedna reprezentuje obecność unikalnego roztworu, a druga brak roztworu lub obecność więcej niż jednego roztworu.

Zasady

• $Q_{i+1,j}=Q_{i,j}+Q_{i,j+1}$ zawsze będzie prawdziwe, jeśli , to znaczy, że dane wejściowe na pewno nie będą zawierać liczby na dwóch innych liczbach, która nie jest ich sumą, jeśli wszystkie trzy liczby są znane.$Q_{i,j},Q_{i,j+1},Q_{i+1,j}\in\mathbb N^*$
• $\exists Q_{i,j},Q_{i,j}\ne{?}$ , to znaczy piramida będzie zawierać co najmniej jedną znaną liczbę.
• Nie rób tych rzeczy .
• To jest golf golfowy , więc wygrywa najkrótsza odpowiedź! Nie pozwól jednak, aby zniechęciło Cię to do opublikowania rozwiązania tylko dlatego, że Twój język jest „zbyt gadatliwy”.

Przypadki testowe

W tych przypadkach testowych używana jest tablica z warstwami od góry do podstawy, z 0reprezentowaniem.$?$

[[10], [0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 0, 1]] -> True
[[32], [0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0]] -> True
[[0], [1, 1]] -> True
[[1], [0, 0]] -> False
[[10], [5, 5], [2, 3, 2], [0, 0, 0, 0]] -> False
[[5], [0, 0], [0, 0, 0]] -> False

Sprawdzone przykłady

Przypadki testowe są tutaj obsługiwane.

Unikalne rozwiązanie 1

$$\begin{array}c&&&10\\&&?&&?\\&?&&2&&?\\?&&?&&?&&1\end{array}$$

Krok 1: .$x+y=2\leftrightarrow x=y=1$

$$\begin{array}c&&&10\\&&?&&?\\&?&&2&&?\\?&&\color{red}1&&\color{red}1&&1\end{array}$$

Krok 2: .$x=y=1\leftrightarrow x+y=2$

$$\begin{array}c&&&10\\&&?&&?\\&?&&2&&\color{red}2\\?&&1&&1&&1\end{array}$$

Krok 3: .$x=y=2\rightarrow x+y=4$

$$\begin{array}c&&&10\\&&?&&\color{red}4\\&?&&2&&2\\?&&1&&1&&1\end{array}$$

Krok 4: .$x+4=10\leftrightarrow x=6$

$$\begin{array}c&&&10\\&&\color{red}6&&4\\&?&&2&&2\\?&&1&&1&&1\end{array}$$

Kroki 5-6 są podobne do 4.

$$\begin{array}c&&&10\\&&6&&4\\&\color{red}4&&2&&2\\\color{red}3&&1&&1&&1\end{array}$$

Oto nasze unikalne rozwiązanie.

Unikalne rozwiązanie 2

$$\begin{array}c&&&&&32\\&&&&?&&?\\&&&?&&?&&?\\&&?&&?&&?&&?\\&?&&?&&?&&?&&?\\?&&?&&?&&?&&?&&?\end{array}$$

Krok 1: Nie ma tutaj oczywistego podejścia, więc spróbujmy użyć minimalnych możliwych wartości.

$$\begin{array}c&&&&&32\\&&&&?&&?\\&&&?&&?&&?\\&&?&&?&&?&&?\\&?&&?&&?&&?&&?\\\color{red}1&&\color{red}1&&\color{red}1&&\color{red}1&&\color{red}1&&\color{red}1\end{array}$$

Kroki 2-5: Wygląda na to, że wartości minimalne dają rozwiązanie, dlatego jest to jedyne rozwiązanie i dlatego jest wyjątkowe.

$$\begin{array}c&&&&&32\\&&&&\color{red}{16}&&\color{red}{16}\\&&&\color{red}8&&\color{red}8&&\color{red}8\\&&\color{red}4&&\color{red}4&&\color{red}4&&\color{red}4\\&\color{red}2&&\color{red}2&&\color{red}2&&\color{red}2&&\color{red}2\\1&&1&&1&&1&&1&&1\end{array}$$

Wskazówka: Istnieje twierdzenie o dodawaniu łamigłówek piramidowych związanych z tą łamigłówką, które możesz udowodnić, jeśli myślisz wystarczająco dużo.

Unikalne rozwiązanie 3

$$\begin{array}c&?\\1&&1\end{array}$$

Krok 1: .$x=y=1\rightarrow x+y=2$

$$\begin{array}c&\color{red}2\\1&&1\end{array}$$

Jest to oczywiście unikalne rozwiązanie.

Brak rozwiązania 1

$$\begin{array}c&1\\?&&?\end{array}$$

$\min\mathbb N^*=1\rightarrow x,y\ge1\rightarrow x+y\ge2>1$ , więc nie ma rozwiązania.

Brak rozwiązania 2

$$\begin{array}c&&&10\\&&5&&5\\&2&&3&&2\\?&&?&&?&&?\end{array}$$

Kroki 1-2: .$x+y=2\leftrightarrow x=y=1$

$$\begin{array}c&&&10\\&&5&&5\\&2&&3&&2\\\color{red}1&&\color{red}1&&\color{red}1&&\color{red}1\end{array}$$

Stąd wynika, że , co jest sprzecznością, dlatego nie ma rozwiązania.$1+1=3$

Nietypowe rozwiązanie

$$\begin{array}c&&5\\&?&&?\\?&&?&&?\end{array}$$

Dwa rozwiązania:

$$\begin{array}c&&5&&&&&&&5\\&2&&3&&&&&3&&2\\1&&1&&2&&&2&&1&&1\end{array}$$

Ponieważ istnieją co najmniej dwa rozwiązania, nie ma unikalnego rozwiązania.

Galaretka , 18 16 bajtów

FṀ‘ṗLSƝƬ€Ṗ€a@ċ⁼1

Wypróbuj online!

Łącze monadyczne, które bierze piramidę w odwrotnej kolejności i zwraca 1 dla wartości true i 0 dla wartości false. Generuje wszystkie możliwe piramidy o podstawie do maksymalnej liczby w piramidzie i sprawdza, czy istnieje jedno unikalne dopasowanie dla danych wejściowych.

Dzięki @Arnauld za wskazanie, że to się nie udało [[1,0],[0]]; teraz poprawione.

Dzięki @JonathanAlan za zapisanie 2 bajtów!

Wyjaśnienie

F                | Flatten
 Ṁ               | Maximum
  ‘              | Increase by 1
   ṗ             | Cartesian power of this with:
    L            | - Length of input
        €        | For each:
       Ƭ         | - Repeat the following until no change
     SƝ          |   - Sum of neighbours
         Ṗ€      | Remove last element from each list
           a@    | Logical and input with each list
             ċ   | Count times input appears
              ⁼1 | Check if equal to 1

C # (interaktywny kompilator Visual C #) , 303 227 bajtów

n=>{int i=n.Max(x=>x.Max()),j=n.Count,t=0,k,m=0,z;for(;t<Math.Pow(i,j);){k=t++;var s=n.Select(_=>(a:k%i+1,k/=i).a).ToList();if(n.All(x=>(z=0,b:x.All(o=>o==s[z++]|o<1),s=s.Skip(1).Select((a,b)=>a+s[b]).ToList()).b))m++;}m/=m-1;}

Zgłasza wyjątek, jeśli true, działa normalnie, jeśli false.

Wypróbuj online!

Wolfram Language (Mathematica) , 85 88 bajtów

Count[l=Length@#;NestList[2#~MovingMedian~2&,#,l-1]&/@Range@Max@#~Tuples~l,#/. 0->_]==1&

Wypróbuj online!

+3 naprawione.

Brute force: dla wszystkich baz z wartościami sprawdź, czy wynikowa piramida pasuje do podanej formy i sprawdź, czy całkowita liczba dopasowań wynosi 1. Pobiera dane wejściowe jako listę poziomów, najpierw podstawową, z reprezentowaniem brakujących liczb.1..(sum of all numbers)0

05AB1E , 25 bajtów

ZÌLsgãε©.Γü+}¨®š.S*˜O_}OΘ

Układa warstwy piramidy w odwrotnej kolejności, od podstawy do końca (tj [[0,0,0,1],[0,2,0],[0,0],[10]].).

Wydaje się, że gdzieś w 05AB1E jest błąd, który znajduje się .Γwewnątrz mapy. ©...®šPowinien być tylko ...yšna 1 bajt.

Wypróbuj online lub sprawdź kilka innych przypadków testowych .

Mniejszą alternatywą dla bajtów ©.ΓüO}®šmoże być [Ðg#üO}\): Wypróbuj online.

Wyjaśnienie:

Z        # Get the flattened maximum of the (implicit) input (without popping)
 Ì       # Increase it by 2
  L      # Create a list in the range [1, max+2]
   sg    # Swap to get the input again, and get the length (amount of layers)
     ã   # Create a cartesian product of this list repeated that many times
ε        # Map each inner list to:
 ©       #  Store it in variable `®` (without popping)
  .Γ     #  Collect all results until the following doesn't change anymore:
    ü    #   Get the pairwise:
     +   #    Sums
   }®š   #  After we've collected all, prepend the original list `®`
 .S      #  Now compare this potential pyramid with the (implicit) input-pyramid
         #  (-1 if a<b; 0 if a==b; 1 if a>b)
   *     #  Multiply that with the (implicit) input-pyramid
    ˜O   #  Then take the flattened sum
      _  #  And check that this sum equals 0 (1 if truhy; 0 if falsey)
}O       # After the map, take the sum to get the amount of truthy values
  Θ      # And trutify it (== 1), since we must output distinct values instead of truthy/falsey
         # (after which the result is output implicitly)

Haskell, 106 bajtów

z=zipWith
a#b=a*b==a*a
f x=[1|t<-mapM(\_->[1..sum(sum<$>x)])x,all and$z(z(#))x$iterate(z(+)=<<tail)t]==[1]

Bierze piramidę do góry nogami, np [[0,0,0,1],[0,2,0],[0,0],[10]].

Wypróbuj online!

Podejście brutalnej siły w Haskell:

• utwórz wszystkie możliwe warstwy podstawowe t( mapM(\_->[1..sum(sum<$>x)])x), w których liczby zaczynają się od 1 do sumy wszystkich liczb w piramidzie wejściowej
• utwórz piramidę z t( iterate(z(+)=<<tail)t)
• porównaj każdą warstwę pod względem elementu z input ( z(z(#))x). Funkcja porównania a # bzwraca, Truejeśli obie liczby są równe lub awynoszą zero ( a*b==a*a).
• weź 1za każdą pasującą piramidę i porównaj wynikową listę z listą singletonów [1].