Zbuduj pięciokąt, unikając używania kompasu


38

Zasady

Zaczniesz tylko z dwóch elementów: Punkty i B takie, że B . Punkty te zajmują płaszczyznę, która jest nieskończona we wszystkich kierunkach.ABAB

Na dowolnym etapie procesu możesz wykonać jedną z trzech następujących czynności:

  1. Narysuj linię, która przechodzi przez dwa punkty.

  2. Narysuj okrąg wyśrodkowany w jednym punkcie, tak aby inny punkt leżał na okręgu.

  3. Dodaj nowy punkt, w którym przecinają się dwa obiekty (linie i okręgi).

Twoim celem jest utworzenie 5 punktów, tak aby tworzyły wierzchołki zwykłego pięciokąta (wypukłego wielokąta o 5 bokach równej długości) przy użyciu jak najmniejszej liczby okręgów. Możesz oczywiście mieć inne punkty, ale 5 z nich musi być dla zwykłego pięciokąta. Nie musisz rysować krawędzi pięciokąta dla swojej punktacji.

Punktacja

Porównując dwie odpowiedzi, lepsza jest ta, która rysuje mniej kręgów. W przypadku remisu w kręgach lepsza jest odpowiedź, która rysuje najmniej linii. W przypadku remisu w obu okręgach i liniach lepsza jest odpowiedź, która dodaje najmniej punktów.

Zasady anty-reguły

Chociaż lista reguł jest wyczerpująca i zawiera szczegółowe informacje na temat wszystkiego, co możesz zrobić na tej liście, to tylko dlatego, że nie mówię, że nie możesz czegoś zrobić, nie oznacza, że ​​możesz.

  • Nie można tworzyć „dowolnych” obiektów. Niektóre konstrukcje, które znajdziesz, będą przypominały dodanie punktu w „dowolnej” lokalizacji i stamtąd będą działać. Nie możesz dodawać nowych punktów w lokalizacjach innych niż skrzyżowania.

  • Nie można skopiować promienia. Niektóre konstrukcje polegają na ustawieniu kompasu na promień między dwoma punktami, a następnie podniesieniu go i narysowaniu okręgu w innym miejscu. Nie możesz tego zrobić.

  • Nie można wykonywać procesów ograniczających. Wszystkie konstrukcje muszą wykonać skończoną liczbę kroków. Nie jest wystarczająco dobre podejście do odpowiedzi w sposób asymptotyczny.

  • Nie możesz narysować łuku lub części koła, aby uniknąć liczenia go jako okręgu w punktacji. Jeśli chcesz wizualnie używać łuków podczas pokazywania lub wyjaśniania swojej odpowiedzi, ponieważ zajmują mniej miejsca, śmiało, ale liczą się one jako koło do punktacji.

Przybory

Możesz przemyśleć problem w GeoGebra . Po prostu przejdź do zakładki kształtów. Trzy reguły są równoważne punktowi, linii i okręgowi za pomocą narzędzi środkowych.

Ciężar dowodu

To standard, ale chciałbym powtórzyć. W przypadku pytania, czy dana odpowiedź jest prawidłowa, na spoczywającym na spoczywającym na ciężarach dowodu spoczywa ciężar udowodnienia, a nie opinia publiczna, że ​​nie jest.

Co to robi na mojej stronie Code-Golf ?!

Jest to forma podobna do próbnego, choć w nieco dziwnym języku programowania. Obecnie w sprawie meta istnieje konsensus + 22 / -0, że tego rodzaju rzeczy są dozwolone.


12
To jest jak gra, którą mam na telefonie o nazwie Euclidea.
mbomb007


6
Następnym razem poproś ludzi o narysowanie heptagonu, co byłoby nieco trudniejsze :)
flawr

3
Jest to zwykły 17-gon, który można zbudować za pomocą linijki i kompasów. Mogę dać ci heptagon, ale niekoniecznie będzie regularny!
Rosie F

1
Siedmiokąt (7 stron) nie jest możliwy tylko z linijką i kompasem. Mathologer to opisał .
Draco18s

Odpowiedzi:


37

2 koła, 13 linii, 17 punktów

obrazek

Wypróbuj na GeoGebra

  • Niech okrąg (A, B) przecina koło (B, A) w C i D.
  • Niech AB przecina okrąg (A, B) ponownie w E.
  • Niech AB ponownie przetnie koło (B, A) ponownie w F.
  • Niech AD ponownie przetnie koło (A, B) ponownie w G.
  • Niech AD przecina CF w H.
  • Niech BG przecina DF w punkcie I.
  • Niech HI przecina okrąg (A, B) w J i K.
  • Niech BG przecina EJ w L.
  • Niech BJ przecina EG w M.
  • Niech BG przecina EK w N.
  • Niech BK przecina EG w O.
  • Niech LM przecina okrąg (A, B) w punktach P i S.
  • Niech NO przecina okrąg (A, B) w Q i R.

Zatem EPQRS jest zwykłym pięciokątem.

Dlaczego to działa?

Niech BE przecina GJ w T i niech BE przecina GK w U. Całkowity czworoboczny BEGJ pokazuje, że T jest biegunem LM, który jest przecięciem stycznych w P i S. Podobnie, całkowity czworoboczny BEGK pokazuje, że U jest biegun NO, który jest przecięciem stycznych w Q i R.

Niech FG przecina HI w V. Przekątne DV i GI kompletnego czworobocznego DGVI przecinają FH w koniugatach harmonicznych w odniesieniu do F i H; ponieważ pierwszy jest w punkcie ∞, drugi to punkt środkowy C FH, co oznacza, że ​​C, D, V są współliniowe.

Niech CG przecina HI w W.

obrazek

Teraz część zabawy. Linia FUBAT jest perspektywą o linii G do linii VKIHJ, która jest perspektywą o D do okręgu CKDGJ, która jest perspektywą o C do linii HKVWJ, która jest perspektywą o G do linii AUF∞T. Komponowanie tych czterech perspektyw daje projekcję FUBAT ⌅ AUF∞T. Ponieważ rzutowanie jednowymiarowe jest określone przez trzy punkty, T i U są określone jako dwa stałe punkty FBA ⌅ AF∞.

Przypisując współrzędne z A = 0, B = -1, F = -2, ta projekcja jest zdefiniowana przez x ↦ 4 / x + 2, a jej punkty stałe T = 1 + √5 = s (2π / 5) i U = 1 - √5 = sec (2π / 10), dokładnie tak, jak jest to wymagane, aby EPQRS był pięciokątem regularnym.


10
Wyjaśnij każdy krok algorytmu słowami i symbolami.
Rosie F

2
@Servaes Ta odpowiedź mogłaby posłużyć jakimś wyjaśnieniem, ale mogę powiedzieć, że trzecia linia jest w porządku, jest to prostopadła dwusieczna, ale jest zdefiniowana w kategoriach dwóch wcześniej istniejących punktów, a nie jako prostopadła dwusieczna. To samo dotyczy czwartego.
Wheat Wizard

2
@RosieF Przepraszamy za to, że etykiety były denerwujące, gdy dodałem sposób, w jaki tworzyłem zdjęcia. Zredagowałem to w GeoGebra z oznaczonymi punktami i dodałem instrukcje oraz link do interaktywnej aplikacji, w której możesz grać z konstrukcją.
Anders Kaseorg

2
Wygląda na fajne rozwiązanie, ale czy chcesz wyjaśnić, dlaczego wynikiem jest zwykły pięciokąt? Tzn. Dlaczego EP = PQ = QR = RS = SE?
Minethlos

2
@Minethlos Opracowanie dobrego dowodu zajęło trochę czasu, ale w końcu znalazłem taki, z którego jestem zadowolony. Ostrzegamy, że wymaga to znacznego tła w geometrii rzutowej.
Anders Kaseorg

17

7 6 kół, 3 linie

Jest to klasyczna pięciokątna konstrukcja, dowód jej poprawności można znaleźć tutaj .

wprowadź opis zdjęcia tutaj


10

4 koła, 7 linii

Ponieważ został pobity, pomyślałem, że po prostu opublikuję moje oryginalne rozwiązanie problemu. To rozwiązanie zostało zmodyfikowane w stosunku do metody podanej przez Dixona w Mathographics , dowód poprawności tej metody można znaleźć tutaj .

  • Circle(A,B)
  • AB¯
  • Circle(A,B)AB¯C
  • Circle(B,C)
  • Circle(C,B)
  • Circle(C,B)Circle(B,C)D
  • Circle(C,B)AB¯E
  • DC¯
  • Circle(C,B)DC¯F
  • Circle(C,B)Circle(B,C)sol
  • bsol¯
  • bsol¯mifa¯H.
  • H.do¯
  • H.do¯dojardolmi(do,b)ja
  • jaZA¯
  • jaZA¯dojardolmi(ZA,b)jot
  • dojarldomi(ja,jot)
  • dojardolmi(ja,jot)H.do¯L.
  • dojardolmi(ja,jot)dojardolmi(do,b)M.K. .
  • M.L.¯
  • K.L.¯
  • dojardolmi(do,b)M.L.¯N.
  • dojardolmi(do,b)H.do¯O
  • dojardolmi(do,b)K.L.¯P.

M.K.P.ON.

Rysunek


1
To jest cudowne! Niektóre z twoich konstrukcji przypominają metodę Dixona, ale twoja metoda sprytnie unika dzielenia czegokolwiek lub budowania prostopadłości.
Rosie F

@RosieF Jest zmodyfikowany z metody Dixona, prawdopodobnie powinienem o tym wspomnieć.
Wheat Wizard
Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.