Biorąc pod uwagę liczbę naturalną $n$ , zwraca $n$ -tej kubańskie Prime .

Kubańskie liczby pierwsze

Liczba kubańska jest liczbą pierwszą formy

p = \frac{x^{3} - y^{3}}{x - y}

$p = \frac{x^3-y^3}{x-y}$

gdzie $y>0$ i $x = 1+y$ lub $x = 2+y$

Detale

Możesz użyć indeksowania opartego na 0 lub 1, cokolwiek najbardziej ci odpowiada.
Możesz zwrócić $n$ liczbę pierwszą, biorąc pod uwagę indeks $n$ lub pierwsze $n$ liczb pierwszych w kolejności rosnącej, lub alternatywnie możesz zwrócić nieskończoną listę / generator, który wytwarza liczby pierwsze w kolejności rosnącej.

Przypadki testowe

Pierwsze kilka warunków jest następujące:

(#1-13)   7, 13, 19, 37, 61, 109, 127, 193, 271, 331, 397, 433, 547,
(#14-24) 631, 769, 919, 1201, 1453, 1657, 1801, 1951, 2029, 2269, 2437,
(#25-34) 2791, 3169, 3469, 3571, 3889, 4219, 4447, 4801, 5167, 5419,
(#35-43) 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10093, 10267, 11719, 12097,
(#44-52) 12289, 13267, 13669, 13873, 16651, 18253, 19441, 19927, 20173

Więcej terminów można znaleźć w OEIS: Są one podzielone na dwie sekwencje, w zależności od tego, czy $x = 1+y$ lub $x = 2+y$ : A002407 i A002648

— wada
źródło

2

Czy możemy zwrócić pierwsze n liczb pierwszych nieposortowanych?

— J42161217

@ J42161217 Nie, liczby pierwsze powinny być w porządku rosnącym.

— flawr

23

JavaScript (V8) , 54 bajty

Pełny program, który zawsze drukuje kubańskie liczby pierwsze.

for(x=0;;){for(k=N=~(3/4*++x*x);N%++k;);~k||print(-N)}

Wypróbuj online!

^{UWAGA: Jeśli nie masz nieskończoną papieru w drukarce, nie próbuj uruchomić to w konsoli przeglądarki , gdzie print()może mieć inne znaczenie.}

JavaScript (ES6), 63 61 60 59 bajtów

Zwraca $n$ liczbę pierwszą kubańską, indeksowaną 1.

f=(n,x)=>(p=k=>N%++k?p(k):n-=!~k)(N=~(3/4*x*x))?f(n,-~x):-N

Wypróbuj online!

W jaki sposób?

Jest to oparte na fakcie, że liczby pierwsze kubańskie są liczbami pierwszymi:

p_{n} = ⌊ \frac{3 n^{2}}{4} ⌋ + 1, n \geq 3

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

Powyższy wzór można zapisać jako:

p_{n} = {\begin{cases} \frac{3 n^{2} + 1}{4} if n is odd \\ \frac{3 n^{2} + 4}{4} if n is even \end{cases}

$p_n=\begin{cases} \dfrac{3n^2+1}{4}\;\text{ if }n\text{ is odd}\\ \dfrac{3n^2+4}{4}\;\text{ if }n\text{ is even} \end{cases}$

lub dla dowolnego $y>0$ :

p_{2 y + 1} = \frac{3 (2 y + 1)^{2} + 1}{4} = 3 y^{2} + 3 y + 1

$p_{2y+1}=\dfrac{3(2y+1)^2+1}{4}=3y^2+3y+1$

p_{2 y + 2} = \frac{3 (2 y + 2)^{2} + 4}{4} = 3 y^{2} + 6 y + 4

$p_{2y+2}=\dfrac{3(2y+2)^2+4}{4}=3y^2+6y+4$

czyli $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}$ dla $x=y+1$ i $x=y+2$ .

— Arnauld
źródło

7

05AB1E , 16 12 9 bajtów

Generuje nieskończoną listę.
Zaoszczędzono 4 bajty dzięki formule Arnaulds dla portu Kevina Cruijssena .
Zaoszczędził kolejne 3 bajty dzięki Grimy

∞n3*4÷>ʒp

Wypróbuj online!

Wyjaśnienie

∞          # on the list of infinite positive integers
 n3*4÷>    # calculate (3*N^2)//4+1 for each
       ʒp  # and filter to only keep primes

— Emigna
źródło

W swoim objaśnieniu napisałeś literówkę: „ umieść kopię N^2+3na stosie ” powinno być 3*N^2. Ponadto, dlaczego )zamiast ¯? Ponieważ łatwiej jest pisać? I z jakiegoś powodu mam wrażenie, że NnN‚3*¬sO‚może być o 1 bajt krótszy, ale nie widzę tego. Niewielka alternatywa dla bajtów to Nn3*DN3*+‚. Ale prawdopodobnie widzę tylko rzeczy, których tam nie ma ..;) Dobra odpowiedź, więc daj +1 ode mnie.

— Kevin Cruijssen

1

Próbowałem przenieść swoją odpowiedź do 05AB1E, ale niestety nie udało mi się. : D

— Arnauld

1

W rzeczywistości generowanie nieskończonej listy jest wygodniejsze: 9 bajtów z ∞n3 * 4 ÷> ʒp

— Grimmy

1

OK, nie jestem przyzwyczajony do specyfikacji, które są sobie sprzeczne. :-)

— WGroleau

6

@WGroleau Zakładam, że nigdy wcześniej nie rozwijałeś oprogramowania profesjonalnie. Bardziej martwię się, gdy dostaję specyfikacje, które się nie zaprzeczają.

— MikeTheLiar

7

R , 75 73 bajtów

n=scan()
while(F<n)F=F+any(!(((T<-T+1)*1:4-1)/3)^.5%%1)*all(T%%(3:T-1))
T

Wypróbuj online!

-2 bajty, zauważając, że mogę usunąć nawiasy, jeśli użyję *zamiast& (inny priorytet).

Wysyła n th kubańską liczbę pierwszą (indeksowany 1).

Wykorzystuje fakt (podany w OEIS), że liczby pierwsze w Kubie mają postać $p=1+3n^2$ lub $4p=1+3n^2$ dla niektórych $n$ , tj. $n=\sqrt{\frac{a\cdot p-1}{3}}$ jest liczbą całkowitą dla $a=1$ lub $a=4$ .

Trick że nie pierwsza może być Formie $2p=1+3n^2$ lub $3p=1+3n^2$ (*), a więc można zaoszczędzić 2 bajty przez sprawdzenie wzoru na ( ) zamiast ( ). $a\in\{1, 2, 3, 4\}$ 1:4 $a\in\{1, 4\}$ c(1,4)

Nieco golfowa wersja kodu:

# F and T are implicitly initialized at 0 and 1
# F is number of Cuban primes found so far
# T is number currently being tested for being a Cuban prime
n = scan()                       # input
while(F<n){
  T = T+1                        # increment T 
  F = F +                        # increment F if
    (!all(((T*1:4-1)/3)^.5 %% 1) # there is an integer of the form sqrt(((T*a)-1)/3)
     & all(T%%(3:T-1)))          # and T is prime (not divisible by any number between 2 and T-1)
  }
T                                # output T

$3p=1+3n^2$ $1=3(p-n^2)$ $3$ .

$p=2$ $2p=1+3n^2$ $n$ $n=2k+1$ $2p=4+12k(k+1)$ $p=2+6k(k+1)$ $p$ byłoby parzyste.

— Robin Ryder
źródło

co z unikaniem pętli przy użyciu górnej granicy n-tej kubańskiej liczby pierwszej?

— Xi'an

@ Xi'an Myślałem o tym, ale nie mogłem wymyślić takiego ograniczenia. Czy masz

— Robin Ryder

5

Wolfram Language (Mathematica) , 66 65 56 bajtów

(f=1+⌊3#/4#⌋&;For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++];f@n)&

Wypróbuj online!

J42161217 -1 przy użyciu ⌊ ⌋zamiastFloor[ ]
attinat
- -1 przy użyciu ⌊3#/4#⌋zamiast⌊3#^2/4⌋
- -8 za For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++]zamiastn=2;i=#;While[i>0,i-=Boole@PrimeQ@f@++n]

— speedstyle
źródło

1

65 bytes. Welcome to ppcg. Nice first answer! +1

— J42161217

Thanks! (Long time lurker.) I couldn't quite parse your existing answer so I wrote my own and it came out a little shorter. I might do a Python one too.

— speedstyle

2

56 bytes

— attinat

@attinat I thought Arnauld's formula only worked for n>2 so I didn't start with 0 - although as in your example it works for all n (because it starts 1 1 4 7 13 ... so the primes are 7 13 ...)

— speedstyle

3

Java 8, 94 88 86 84 bytes

v->{for(int i=3,n,x;;System.out.print(x<1?++n+" ":""))for(x=n=i*i++*3/4;~n%x--<0;);}

-6 bytes by using the Java prime-checker of @SaraJ, so make sure to upvote her!
-2 bytes thanks to @OlivierGrégoire. Since the first number we check is 7, we can drop the trailing %n from Sara's prime-checker, which is to terminate the loop for n=1.
-2 bytes thanks to @OlivierGrégoire by porting @Arnauld's answer.

Outputs space-delimited indefinitely.

Try it online.

Explanation (of the old 86 bytes version): TODO: Update explanation

Uses the formula of @Arnauld's JavaScript answer: $p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$ .

v->{                     // Method with empty unused parameter and no return-type
  for(int i=3,           //  Loop-integer, starting at 3
          n,x            //  Temp integers
      ;                  //  Loop indefinitely:
      ;                  //    After every iteration:
       System.out.print( //     Print:
        n==x?            //      If `n` equals `x`, which means `n` is a prime:
         n+" "           //       Print `n` with a space delimiter
        :                //      Else:
         ""))            //       Print nothing
    for(n=i*i++*3/4+1,   //   Set `n` to `(3*i^2)//4+1
                         //   (and increase `i` by 1 afterwards with `i++`)
        x=1;             //   Set `x` to 1
        n%++x            //   Loop as long as `n` modulo `x+1`
                         //   (after we've first increased `x` by 1 with `++x`)
             >0;);}      //   is not 0 yet
                         //   (if `n` is equal to `x`, it means it's a prime)

— Kevin Cruijssen
źródło

I don't really think it's feasible, but another way of finding the cuban primes uses this formula: v->{for(int n=7,i=3,p,x,d,r=0;;i+=++r%2*3,n+=i,System.out.print(x>1?x+" ":""))for(x=n,d=1;++d<n;x=x%d<1?0:n);}, maybe someone can use this to golf? I couldn't.

— Olivier Grégoire

1

@OlivierGrégoire You can golf yours a bit more by removing the unused ,p and changing i+=++r%2*3,n+=i to n+=i+=++r%2*3, but then I'll still end up at 106 bytes. Using Java 11's String#repeat with prime-regex is 105 bytes: v->{for(int n=7,i=3,r=0;;n+=i+=++r%2*3)if(!"x".repeat(n).matches(".?|(..+?)\\1+"))System.out.println(n);}.

— Kevin Cruijssen

Yeah, I guessed it wasn't much golfable despite my (now obvious) mistakes. Thanks for giving it a ride ;)

— Olivier Grégoire

@OlivierGrégoire Maybe also good to know for you, but there is apparently a shorter prime-check loop in Java. See my edit and SaraJ's prime-check answer.

— Kevin Cruijssen

I might be wrong, but the last %n isn't required, is it?

— Olivier Grégoire

2

Wolfram Language (Mathematica), 83 bytes

(t=1;While[Length[l=Select[Join@@Array[{(v=3#^2+1)+3#,v}&,t++],PrimeQ]]<#];Sort@l)&

Try it online!

— J42161217
źródło

2

Galaretka , 12 bajtów

²×3:4‘
ÇẒ$#Ç

Wypróbuj online!

Na podstawie metody @ Arnaulda . Przyjmuje n na standardowe wejście i zwraca tyle pierwszych liczb kubańskich.

— Nick Kennedy
źródło

1

Wolfram Language (Mathematica), 83 bytes

To rozwiązanie da n-tą kubańską liczbę pierwszą z dodatkowymi korzyściami polegającymi na szybkości i zapamiętywaniu wszystkich poprzednich wyników w symbolu f.

(d:=1+3y(c=1+y)+3b c;e:=If[PrimeQ@d,n++;f@n=d];For[n=y=b=0,n<#,e;b=1-b;e,y++];f@#)&

Wypróbuj online!

— Kelly Lowder
źródło

1

Biała spacja , 180 bajtów

[S S S T    S N
_Push_2][S N
S _Duplicate][N
S S N
_Create_Label_OUTER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][T S S N
_Multiply][S S S T  T   N
_Push_3][T  S S N
_Multiply][S S S T  S S N
_Push_4][T  S T S _Integer_divide][S S S T  N
_Push_1][T  S S S _Add][S S S T N
_Push_1][S N
S _Duplicate_1][N
S S S N
_Create_Label_INNER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][S T   S S T   T   N
_Copy_0-based_3rd][T    S S T   _Subtract][N
T   S T N
_Jump_to_Label_PRINT_if_0][S T  S S T   S N
_Copy_0-based_2nd][S N
T   _Swap_top_two][T    S T T   _Modulo][S N
S _Duplicate][N
T   S S S N
_Jump_to_Label_FALSE_if_0][N
S N
S N
_Jump_to_Label_INNER_LOOP][N
S S T   N
_Create_Label_PRINT][T  N
S T _Print_as_integer][S S S T  S T S N
_Push_10_(newline)][T   N
S S _Print_as_character][S N
S _Duplicate][N
S S S S N
_Create_Label_FALSE][S N
N
_Discard_top_stack][S N
N
_Discard_top_stack][N
S N
N
_Jump_to_Label_OUTER_LOOP]

Litery S(spacja), T(tab) i N(nowa linia) dodane tylko jako wyróżnienia.
[..._some_action]dodano tylko jako wyjaśnienie.

Outputs newline-delimited indefinitely.

Try it online (with raw spaces, tabs, and new-lines only).

Explanation in pseudo-code:

Port of my Java 8 answer, which also uses the formula from @Arnauld's JavaScript answer: $p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$ .

Integer i = 2
Start OUTER_LOOP:
  i = i + 1
  Integer n = i*i*3//4+1
  Integer x = 1
  Start INNER_LOOP:
    x = x + 1
    If(x == n):
      Call function PRINT
    If(n % x == 0):
      Go to next iteration of OUTER_LOOP
    Go to next iteration of INNER_LOOP

function PRINT:
  Print integer n
  Print character '\n'
  Go to next iteration of OUTER_LOOP

— Kevin Cruijssen
źródło

1

Python 3 , 110 108 102 bajtów

Podobna metoda do mojej odpowiedzi Mathematica (tj. isPrime(1+⌊¾n²⌋) else n++) Przy użyciu tego sprawdzania liczb pierwszych w golfa i zwracania anonimowego generatora nieskończonego

from itertools import*
(x for x in map(lambda n:1+3*n**2//4,count(2)) if all(x%j for j in range(2,x)))

Wypróbuj online!

mypetlion -2, ponieważ prawdopodobnie anonimowe generatory są bardziej dozwolone niż te nazwane
-6 , zaczynając countod 2 _+1, tak że and x>1pożyczony w warcaby pierwszej nie jest potrzebny _-7

— speedstyle
źródło

The answer going into a variable is usually not considered a valid form of "output". Could you rework your answer so that the result is either output to stdout or returned by a function?

— mypetlion

1

ponieważ anonimowe funkcje są dozwolone, a wyzwanie wyraźnie zezwala na nieskończony generator, usunąłem g=. Włączyłem go tylko w pierwszej kolejności, ponieważ pozwoliło to na szybki podgląd TIO z print(next(g) for i in range(52)).

— speedstyle

1

Japt , 14 13 bytes

Na podstawie wzoru Arnaulda . 1-indeksowany.

@µXj}f@Ò(X²*¾

Spróbuj

1 bajt zapisany dzięki EmbodimentOfIgnorance.

— Kudłaty
źródło

13 bajtów? Nie zostały jednak dokładnie przetestowane.

— Wcielenie nieznajomości

Dzięki, @EmbodimentofIgnorance. Próbowałem tego, ale to nie zadziałało; okazuje się, że zapomniałem (.

— Kudłaty

1

Rakieta , 124 bajty

(require math)(define(f n[i 3])(let([t(+(exact-floor(* 3/4 i i))1)][k(+ 1 i)])(if(prime? t)(if(= 0 n)t(f(- n 1)k))(f n k))))

Wypróbuj online!

Zwraca n-tą liczbę pierwszą kubańską, 0-indeksowaną.

Wykorzystuje formułę odpowiedzi JavaScript @ Arnauld

— Galen Iwanow
źródło

1

Python 3 , 83 bajty

drukuje kubańskie liczby pierwsze na zawsze.

P=k=1
while 1:P*=k*k;x=k;k+=1;P%k>0==((x/3)**.5%1)*((x/3+.25)**.5%1-.5)and print(k)

Wypróbuj online!

Based on this prime generator. For every prime it checks whether an integer y exists that fulfills the equation for either $x = 1+y$ or $x=2+y$ .

p = \frac{(1 + y)^{3} - y^{3}}{(1 + y) - y} = 1 + 3 y + 3 y^{2} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{p - 1}{3}}

$p=\frac{(1+y)^3-y^3}{(1+y)-y} = 1 + 3y +3y^2 \Leftrightarrow y = -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{p-1}{3}}$

p = \frac{(2 + y)^{3} - y^{3}}{(1 + y) - y} = 4 + 6 y + 3 y^{2} \Leftrightarrow y = - 1 \pm \sqrt{\frac{p - 1}{3}}

$p=\frac{(2+y)^3-y^3}{(1+y)-y} = 4 + 6y +3y^2 \Leftrightarrow y = -1 \pm\sqrt{\frac{p-1}{3}}$ As we only care whether

y

$y$ has an integer solution, we can ignore the

\pm

$\pm$ and

- 1

$-1$ .

— ovs
źródło

1

Perl 6, 33 31 bytes

-2 bytes thanks to Grimy

{grep &is-prime,1+|¾*$++²xx*}

Try it online!

Anonymous code block that returns a lazy infinite list of Cuban primes. This uses Arnauld's formula to generate possible cuban primes, then &is-prime to filter them.

Explanation:

{                           }  # Anonymous code block
 grep &is-prime,               # Filter the primes from
                         xx*   # The infinite list
                   ¾*          # Of three quarters
                     $++²      # Of an increasing number squared
                1+|            # Add one by ORing with 1

— Jo King
źródło

1

1+0+| can be just 1+|

— Grimmy

0

Pari/GP, 51 bytes

Using Arnauld's formula.

n->a=0;for(i=1,n,until(isprime(p=3*a^2\4+1),a++));p

Try it online!

— alephalpha
źródło

0

APL(NARS), 98 chars, 196 bytes

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
→3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
→2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
→2×⍳w>c

indented :

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
    →3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
    →2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
    →2×⍳w>c

test:

  h ¨1..20
7 13 19 37 61 109 127 193 271 331 397 433 547 631 769 919 1201 1453 1657 1801 
  h 1000
25789873
  h 10000
4765143511

it is based on: if y in N, one possible Cuban Prime is

S1=1+3y(y+1)

the the next possible Cuban Prime will be

S2=3(y+1)+S1

— RosLuP
źródło