Matematyka ma wiele symboli. Niektórzy mogą powiedzieć zbyt wiele symboli. Zróbmy więc matematykę ze zdjęciami.

Zróbmy papier, z którego będziemy czerpać. Aby rozpocząć papier jest pusty, powiemy, że jest to odpowiednik lub .$\top$$\textit{true}$

Jeśli napiszemy na papierze inne rzeczy, one również będą prawdziwe.

Na przykład

Wskazuje, że twierdzenia i są prawdziwe.$P$$Q$

Powiedzmy teraz, że jeśli narysujemy okrąg wokół jakiegoś stwierdzenia, to stwierdzenie jest fałszywe. To logiczne nie.

Na przykład:

Wskazuje, że jest fałszem, a jest prawdą.$P$$Q$

Możemy nawet umieścić koło wokół wielu instrukcji podrzędnych:

Ponieważ część wewnątrz koła zwykle czyta się jako , umieszczając wokół niego okrąg, oznacza to . Możemy nawet zagnieżdżać kręginie  ( P  i  Q $P\text{ and }Q$$\text{not }(P\text{ and }Q)$

Odczytuje to jako .$\text{not }((\text{not }P)\text{ and }Q)$

Jeśli narysujemy okrąg, w którym nic nie ma, oznacza to lub . $\bot$$\textit{false}$

Ponieważ pusta przestrzeń była prawdziwa, negacja prawdy jest fałszywa.

Teraz za pomocą tej prostej metody wizualnej możemy właściwie przedstawić dowolne zdanie w logice zdań.

Dowody

Następnym krokiem po przedstawieniu oświadczeń jest możliwość ich udowodnienia. W przypadku dowodów mamy 4 różne reguły, których można użyć do przekształcenia wykresu. Zawsze zaczynamy od pustego arkusza, który jak wiemy jest pustą prawdą, a następnie używamy tych różnych reguł, aby przekształcić nasz pusty arkusz papieru w twierdzenie.

Naszą pierwszą zasadą wnioskowania jest wstawianie .

Wprowadzenie

Nazwę liczby negacji między pod wykresem a najwyższym poziomem nazywamy „głębią”. Wstawienie pozwala nam wprowadzić dowolne oświadczenie, które chcemy na dziwnej głębokości.

Oto przykład przeprowadzania wstawiania:

Tutaj wybraliśmy , ale równie dobrze moglibyśmy wybrać dowolne oświadczenie, które chcieliśmy.$P$

Skasowanie

Następna reguła wnioskowania to Kasowanie . Erasure mówi nam, że jeśli mamy stwierdzenie, które jest na równej głębokości, możemy je całkowicie usunąć.

Oto przykład zastosowania kasowania:

Tutaj usunęliśmy , ponieważ było zagnieżdżone poziomy. Nawet gdybyśmy tego chcieli, nie moglibyśmy usunąć ponieważ jest on zagnieżdżony na poziomie.2 P $Q$$2$$P$$1$

Podwójne cięcie

Podwójne cięcie jest równoważne. Co oznacza, że ​​w przeciwieństwie do poprzednich wniosków można go również odwrócić. Double Cut mówi nam, że możemy narysować dwa koła dookoła dowolnego pod-wykresu, a jeśli są dwa koła dookoła pod-wykresu, możemy je usunąć.

Oto przykład z Double Cut używany

Tutaj używamy Double Cut na .$Q$

Iteracja

Iteracja jest również równoważna. ¹ Odwrotność nazywa się Deiteracją. Jeśli mamy instrukcję i wycięcie na tym samym poziomie, możemy skopiować to wyrażenie wewnątrz wycięcia.

Na przykład:

Deiteration pozwala nam odwracać iteracji . Instrukcja może zostać usunięta przez Deiteration, jeśli istnieje jej kopia na wyższym poziomie.

Ten format przedstawienia i dowodu nie jest moim własnym wynalazkiem. Są one niewielką modyfikacją logiki schematycznej zwanej Alpha Existential Graphs . Jeśli chcesz przeczytać więcej na ten temat, nie ma mnóstwo literatury, ale powiązany artykuł to dobry początek.

Zadanie

Twoim zadaniem będzie udowodnienie następującego twierdzenia:

To po przetłumaczeniu na tradycyjną symbolikę logiczną jest

$((A\to(B\to A))\to(((\neg C\to(D\to\neg E))\to((C\to(D\to F))\to((E\to D)\to(E\to F))))\to G))\to(H\to G)$.

Znany również jako aksjomat Łukasiewicza-Tarskiego .

Może się to wydawać zaangażowane, ale wykresy egzystencjalne są bardzo wydajne, jeśli chodzi o długość dowodu. Wybrałem to twierdzenie, ponieważ uważam, że jest to odpowiednia długość dla zabawnej i wymagającej układanki. Jeśli masz problemy z tym jednym polecam próbuje niektóre bardziej podstawowe twierdzenia pierwszy się zawiesić system. Ich listę można znaleźć na dole postu.

To jest proof-golf, więc twój wynik będzie całkowitą liczbą kroków w twoim proofie od początku do końca. Celem jest zminimalizowanie twojego wyniku.

Format

Format tego wyzwania jest elastyczny można przesłać odpowiedź w dowolnym formacie, który jest wyraźnie czytelny, w tym ręcznie rysowane lub świadczonych formatach. Jednak dla jasności sugeruję następujący prosty format:

• Reprezentujemy nacięcie w nawiasach, bez względu na to, co wycinamy, jest ono wstawiane do parens. Puste cięcie byłoby po prostu ()na przykład.

• Reprezentujemy atomy tylko ich literami.

Przykładem jest tutaj instrukcja celu w tym formacie:

(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F))))))))(G))))((H(G))))

Ten format jest fajny, ponieważ jest czytelny zarówno dla ludzi, jak i dla maszyn, więc umieszczenie go w poście byłoby przyjemne.

$\LaTeX$

Wypróbuj online!

Jeśli chodzi o twoją rzeczywistą pracę, zalecam ołówek i papier podczas ćwiczeń. Uważam, że tekst nie jest tak intuicyjny jak papier, jeśli chodzi o wykresy egzystencjalne.

Przykładowy dowód

W tym przykładowym dowodzie udowodnimy następujące twierdzenie:

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow \neg A)$

Dowód:

Ćwicz twierdzenia

Oto kilka prostych twierdzeń, których można użyć do ćwiczenia systemu:

Drugi aksjomat Łukasiewicza

Aksjomat Meredith

^{1: Większość źródeł używa bardziej wyrafinowanej i wydajniejszej wersji Iteracji , ale dla uproszczenia tego wyzwania korzystam z tej wersji. Są funkcjonalnie równoważne.}

19 kroków

1. (()) [podwójne cięcie]
2. (AB()(((G)))) [wprowadzenie]
3. (AB(A)(((G)))) [iteracja]
4. (((AB(A)))(((G)))) [podwójne cięcie]
5. (((AB(A))(((G))))(((G)))) [iteracja]
6. (((AB(A))(((G))))((H(G)))) [wprowadzenie]
7. (((AB(A))(((G)(()))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
8. (((AB(A))(((DE()(C)(F))(G))))((H(G)))) [wprowadzenie]
9. (((AB(A))(((DE(C)(DE(C))(F))(G))))((H(G)))) [iteracja]
10. (((AB(A))(((DE(CD(F))(DE(C))(F))(G))))((H(G)))) [iteracja]
11. (((AB(A))(((E(CD(F))(DE(C))(F)((D)))(G))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
12. (((AB(A))(((E(CD(F))(DE(C))(E(D))(F))(G))))((H(G)))) [iteracja]
13. (((AB(A))(((G)((CD(F))(DE(C))(E(D))((E(F)))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
14. (((AB(A))(((G)((CD(F))(DE(C))(((E(D))((E(F)))))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
15. (((AB(A))(((G)((C((D(F))))(DE(C))(((E(D))((E(F)))))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
16. (((AB(A))(((G)((DE(C))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
17. (((AB(A))(((G)((D(C)((E)))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
18. (((AB(A))(((G)(((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]
19. (((A((B(A))))(((G)(((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [podwójne cięcie]

Przećwicz twierdzenia

Drugi aksjomat Łukasiewicza: 7 kroków

1. (()) [podwójne cięcie]
2. (A()(B)(C)) [wprowadzenie]
3. (A(A(B))(B)(C)) [iteracja]
4. (A(AB(C))(A(B))(C)) [iteracja]
5. ((AB(C))(A(B))((A(C)))) [podwójne cięcie]
6. ((AB(C))(((A(B))((A(C)))))) [podwójne cięcie]
7. ((A((B(C))))(((A(B))((A(C)))))) [podwójne cięcie]

Aksjomat Meredith: 11 kroków

1. (()) [podwójne cięcie]
2. (()(D(A)(E))) [wprowadzenie]
3. ((D(A)(E))((D(A)(E)))) [iteracja]
4. ((D(A)(E))((D(A)(E(A))))) [iteracja]
5. ((D(A)(E))(((E(A))((D(A)))))) [podwójne cięcie]
6. (((E)((D(A))))(((E(A))((D(A)))))) [podwójne cięcie]
7. (((E)((C)(D(A))))(((E(A))((D(A)))))) [wprowadzenie]
8. (((E)((C)(D(A)(C))))(((E(A))((D(A)))))) [iteracja]
9. (((E)((C)((A)(C)((D)))))(((E(A))((D(A)))))) [podwójne cięcie]
10. (((E)((C)((A)(((C)((D)))))))(((E(A))((D(A)))))) [podwójne cięcie]
11. (((E)((C)((A(B))(((C)((D)))))))(((E(A))((D(A)))))) [wprowadzenie]

Wyszukiwarka dowodów Haskell

(Myślałeś, że zrobię to ręcznie? :-P)

To tylko próbuje wstawić, wprowadzenie podwójnego cięcia i iteracji. Nadal możliwe jest pokonanie tych rozwiązań za pomocą skasowania, podwójnej eliminacji lub deiteracji.

{-# LANGUAGE ViewPatterns #-}

import Control.Applicative hiding (many)
import Data.Char
import Data.Function hiding ((&))
import qualified Data.Map as M
import Data.Maybe
import qualified Data.MultiSet as S
import qualified Data.PQueue.Prio.Min as Q
import System.IO
import Text.ParserCombinators.ReadP

type Var = Char

data Part
  = Var Var
  | Not Conj
  deriving (Eq, Ord)

instance Show Part where
  show (Var s) = [s]
  show (Not c) = "(" ++ show c ++ ")"

newtype Conj = Conj
  { parts :: S.MultiSet Part
  } deriving (Eq, Ord)

instance Show Conj where
  show (Conj (S.toAscList -> [])) = ""
  show (Conj (S.toAscList -> g:gs)) =
    show g ++ concat ["" ++ show g1 | g1 <- gs]

true :: Conj
true = Conj S.empty

not_ :: Conj -> Conj
not_ = Conj . S.singleton . Not

(&) :: Conj -> Conj -> Conj
Conj as & Conj bs = Conj (S.union as bs)

intersect :: Conj -> Conj -> Conj
intersect (Conj as) (Conj bs) = Conj (S.intersection as bs)

diff :: Conj -> Conj -> Conj
diff (Conj as) (Conj bs) = Conj (S.difference as bs)

splits :: Conj -> [(Conj, Conj)]
splits =
  S.foldOccur
    (\a o bcs ->
       [ (Conj (S.insertMany a o1 bs), Conj (S.insertMany a (o - o1) cs))
       | (Conj bs, Conj cs) <- bcs
       , o1 <- [0 .. o]
       ])
    [(true, true)] .
  parts

moves :: Bool -> Conj -> [(Conj, String)]
moves ev a =
  (do (b, c) <- splits a
      andMoves ev b c) ++
  (do (p, _) <- S.toOccurList (parts a)
      partMoves ev p (Conj (S.delete p (parts a))))

andMoves :: Bool -> Conj -> Conj -> [(Conj, String)]
andMoves ev a b = [(a, "insertion") | not ev]

partMoves :: Bool -> Part -> Conj -> [(Conj, String)]
partMoves ev (Not a) b =
  [(a1 & b, why) | (a1, why) <- notMoves ev a] ++
  [ (not_ (diff a d) & b, "iteration")
  | (d, _) <- splits (intersect a b)
  , d /= true
  ]
partMoves _ (Var _) _ = []

notMoves :: Bool -> Conj -> [(Conj, String)]
notMoves ev a =
  (case S.toList (parts a) of
     [Not b] -> [(b, "double cut")]
     _ -> []) ++
  [(not_ a1, why) | (a1, why) <- moves (not ev) a]

partSat :: Part -> Bool -> M.Map Var Bool -> [M.Map Var Bool]
partSat (Var var) b m =
  case M.lookup var m of
    Nothing -> [M.insert var b m]
    Just b1 -> [m | b1 == b]
partSat (Not c) b m = conjSat c (not b) m

conjSat :: Conj -> Bool -> M.Map Var Bool -> [M.Map Var Bool]
conjSat c False m = do
  (p, _) <- S.toOccurList (parts c)
  partSat p False m
conjSat c True m = S.foldOccur (\p _ -> (partSat p True =<<)) [m] (parts c)

readConj :: ReadP Conj
readConj = Conj . S.fromList <$> many readPart

readPart :: ReadP Part
readPart =
  Var <$> satisfy isAlphaNum <|> Not <$> (char '(' *> readConj <* char ')')

parse :: String -> Maybe Conj
parse s = listToMaybe [c | (c, "") <- readP_to_S readConj s]

partSize :: Part -> Int
partSize (Var _) = 1
partSize (Not c) = 1 + conjSize c

conjSize :: Conj -> Int
conjSize c = sum [partSize p * o | (p, o) <- S.toOccurList (parts c)]

data Pri = Pri
  { dist :: Int
  , size :: Int
  } deriving (Eq, Show)

instance Ord Pri where
  compare = compare `on` \(Pri d s) -> (s + d, d)

search ::
     Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)])
  -> M.Map Conj Int
  -> [[(Conj, String)]]
search (Q.minViewWithKey -> Nothing) _ = []
search (Q.minViewWithKey -> Just ((pri, (a, proof)), q)) m =
  [proof | a == true] ++
  uncurry search (foldr (addMove pri a proof) (q, m) (moves True a))

addMove ::
     Pri
  -> Conj
  -> [(Conj, String)]
  -> (Conj, String)
  -> (Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)]), M.Map Conj Int)
  -> (Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)]), M.Map Conj Int)
addMove pri b proof (a, why) (q, m) =
  case M.lookup a m of
    Just d
      | d <= d1 -> (q, m)
    _
      | null (conjSat a False M.empty) ->
        ( Q.insert (Pri d1 (conjSize a)) (a, (b, why) : proof) q
        , M.insert a d1 m)
    _ -> (q, m)
  where
    d1 = dist pri + 1

prove :: Conj -> [[(Conj, String)]]
prove c = search (Q.singleton (Pri 0 (conjSize c)) (c, [])) (M.singleton c 0)

printProof :: [(Conj, String)] -> IO ()
printProof proof = do
  mapM_
    (\(i, (a, why)) ->
       putStrLn (show i ++ ". `" ++ show a ++ "`  [" ++ why ++ "]"))
    (zip [1 ..] proof)
  putStrLn ""
  hFlush stdout

main :: IO ()
main = do
  Just theorem <- parse <$> getLine
  mapM_ printProof (prove theorem)

22 kroki

$\to$(((())(())))

$\to$(((AB())(CDE(F)()))H(G))

$\to$(((AB(A))(CDE(F)(CD(F)))(G))H(G))

$\to$(((A((B(A))))(((((C))DE(F)(C((D(F)))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)DE)DE(F)(C((D(F)))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D))E(F)))(C((D(F)))))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D)E)E(F)))(C((D(F)))))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D)E)((E(F)))))(C((D(F)))))(G))))))((H(G))))

Kilka rzeczy, których nauczyłem się podczas układania tej układanki:

• Zmniejsz przedstawioną reprezentację. Obejmuje to odwracanie podwójnych cięć i iteracji. Na przykład ten aksjomat redukuje się do (((AB(A))(((C)DE)(CD(F))(E(D))(E(F)))(G))H(G))po cofnięciu podwójnych cięć i (((AB(A))(()CDE(F)))H(G)))po odwróceniu iteracji.

• Szukaj zbłąkanych atomów. Na przykład H jest używane jako zmienna fikcyjna, a zatem można go wstawić w dowolnym momencie.

Przećwicz rozwiązania twierdzeń:

Rozwiązanie drugiego aksjomatu Łukasiewicza: [8 kroków]

$\to$(())

$\to$(()AB(C))

$\to$((AB(C))AB(C))

$\to$((A((B(C))))A((B))(C))

$\to$((A((B(C))))A(A(B))(C))

$\to$((A((B(C))))(((A(B))((A(C))))))

Rozwiązanie dla aksjomatu Meredith: [12 kroków]

$\to$(())

$\to$(()(A)D(E))

$\to$(((A)D(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A)D))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))D)(C))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))(C)D)(C))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))(((C)((D)))))(C))(E))(((((A)D))(E(A)))))