Biorąc nieujemną liczbę całkowitą wyjście Numer Eulera ( OEIS A122045 ). $n ,$ $n^{\text{th}}$

Wszystkie liczby Eulera o indeksie nieparzystym wynosząLiczby Eulera o indeksie parzystym można obliczyć za pomocą następującego wzoru ( odnosi się do jednostki urojonej): $0 .$ $i \equiv \sqrt{-1}$

E_{2 n} = i \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \sum_{j = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ j \end{matrix}) \frac{{(- 1)}^{j} {(k - 2 j)}^{2 n + 1}}{2^{k} i^{k} k} .

$E_{2n} = i \sum_{k=1}^{2n+1}{ \sum_{j=0}^{k}{ \left(\begin{array}{c}k \\ j \end{array}\right) \frac{{\left(-1\right)}^{j} {\left(k-2j\right)}^{2n+1}}{2^k i^k k} } } \,.$

Zasady

$n$ będzie nieujemną liczbą całkowitą, tak że liczba Eulera będzie w reprezentatywnym zakresie liczb całkowitych dla twojego języka. $n^{\text{th}}$

Przypadki testowe

0 -> 1
1 -> 0
2 -> -1
3 -> 0
6 -> -61
10 -> -50521
20 -> 370371188237525

— Mego
źródło

1

@donbright Brakuje zestawu nawiasów: wolframalpha.com/input/… - dzięki temu oba sumy są oba -i/2, które ustępują-i po dodaniu. Pomnóż to przez izewnętrzną sumę, a otrzymasz 1.

— Mego

18

Mathematica, 6 bajtów

EulerE

-kaszel-

— Greg Martin
źródło

9

Kiedy zobaczyłem tytuł, od razu pomyślałem: „Na pewno Mathematica musi mieć do tego wbudowaną funkcję”.

— HyperNeutrino

12

Dotyczy to prawie każdego tytułu ... nawet wykrywania kóz na obrazach

— Luis Mendo

GoatImageQjest niedoceniany

— Greg Martin

1

Czy możesz to wyjaśnić? Edycja: to był żart.

— Magic Octopus Urn

13

J , 10 bajtów

(1%6&o.)t:

Wypróbuj online!

Wykorzystuje definicję wykładniczej funkcji generowania sech (x).

— mile
źródło

Czy J wykonuje analizę symboliczną, aby uzyskać funkcję generującą? Nie napotyka błędów zmiennoprzecinkowych nawet dla n = 30.

— orlp

@orlp Nie jestem pewien, co robi wewnętrznie, ale J zna serię Taylora dla podzbioru czasowników . Każda funkcja, którą możesz zdefiniować za pomocą kombinacji tych czasowników, będzie ważna dla t.lub t:gdzie są gf i egf Ciekawe jest to, że tan (x) nie jest obsługiwany, ale sin (x) / cos (x) jest.

— mile

12

Pari / GP , 32 bajty

n->n!*Vec(1/cosh(x+O(x^n++)))[n]

Wypróbuj online!

— alephalpha
źródło

11

Klon, 5 bajtów

euler

Hurra dla wbudowanych?

— mile
źródło

4

Uwielbiam to, gdy matematyka jest zbyt gadatliwa, by rozwiązywać problemy matematyczne ...

— theonlygusti

11

Maxima , 5 bajtów / 42 bajty

Maxima ma wbudowane:

euler

Wypróbuj online!

Poniższe rozwiązanie nie wymaga wbudowania z góry i wykorzystuje wzór, który pierwotnie zdefiniował liczby euler.

Zasadniczo szukamy n-tego współczynnika rozszerzenia szeregu 1/cosh(t) = sech(t)(aż do n!)

f(n):=coeff(taylor(sech(x),x,0,n)*n!,x,n);

Wypróbuj online!

— wada
źródło

9

Mathematica, bez wbudowanego, 18 bajtów

Korzystanie ze wzoru @ rahnema1 :

2Im@PolyLog[-#,I]&

21 bajtów:

Sech@x~D~{x,#}/.x->0&

— alephalpha
źródło

5

Python 2.7, 46 bajtów

Korzystanie z Scipy.

from scipy.special import*
lambda n:euler(n)[n]

— hashcode55
źródło

5

Perl 6 , 78 bajtów

{(->*@E {1-sum @E».&{$_*2**(@E-1-$++)*[*](@E-$++^..@E)/[*] 1..$++}}...*)[$_]}

Wykorzystuje iteracyjny wzór stąd :

E_{n} = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 1} [E_{k} \cdot 2^{(n - 1 - k)} \cdot (\binom{n}{k})]

$E_n = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \left[ E_k \cdot 2^{(n-1-k)} \cdot \binom{n}{k} \right]$

Jak to działa

Ogólna struktura to lambda, w której generowana jest nieskończona sekwencja, poprzez wyrażenie, które jest wywoływane wielokrotnie i pobiera wszystkie poprzednie wartości sekwencji w zmiennej @E, a następnie sekwencja ta jest indeksowana argumentem lambda:

{ ( -> *@E {    } ... * )[$_] }

Wyrażenie wywoływane dla każdego kroku sekwencji to:

1 - sum @E».&{              # 1 - ∑
    $_                      # Eₙ
    * 2**(@E - 1 - $++)     # 2ⁿ⁻ˡ⁻ᵏ
    * [*](@E - $++ ^.. @E)  # (n-k-1)·...·(n-1)·n
    / [*] 1..$++            # 1·2·...·k
}

— smls
źródło

4

Maxima, 29 bajtów

z(n):=2*imagpart(li[-n](%i));

Wypróbuj online!

Dwukrotnie urojona część funkcji polilogarytmu porządku -nz argumentem i [1]

— rahnema1
źródło

4

JavaScript (Node.js) , 46 45 bajtów

F=(a,b=a)=>a?(b+~a)*F(--a,b-2)+F(a,b)*++b:+!b

Wypróbuj online!

$E_n$ $F(n, i)$ $-F(n,i)$ $n$ $F'(n,i)=(-1)^nF(n,i)$ $F$ $F'$

F^{'} (n, i) = (i - n - 1) F^{'} (n - 1, i - 2) + (i + 1) F^{'} (n - 1, i)

$F'(n,i)=(i-n-1)F'(n-1,i-2)+(i+1)F'(n-1,i)$

JavaScript (Node.js) , 70 46 bajtów

F=(a,b=a)=>a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

Wypróbuj online!

Zaskoczony, że nie znalazłem jeszcze odpowiedzi na JavaScript, więc spróbuję.

$\mathrm{sech}(x)$

Wyjaśnienie

$T^n:=\mathrm{tanh}^n(t)$ $S^n:=\mathrm{sech}^n(t)$

\frac{{re}^{n} S.}{re t^{n}} = \sum_{ja = 0}^{n} fa (n, ja) {T.}^{n - ja} {S.}^{ja + 1}

$\frac{d^nS}{dt^n}=\sum_{i=0}^nF(n,i)T^{n-i}S^{i+1}$

$\frac{dT}{dt}=S^2$ $\frac{dS}{dt}=-TS$

\begin{aligned} \frac{re}{re t} ({T.}^{za} {S.}^{b}) & = za {T.}^{za - 1} ({S.}^{2)}) ({S.}^{b}) + b {S.}^{b - 1} (- T. S.) ({T.}^{za}) \\ = za {T.}^{za - 1} {S.}^{b + 2)} - b {T.}^{za + 1} {S.}^{b} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^aS^b)&=aT^{a-1}(S^2)(S^b)+bS^{b-1}(-TS)(T^a) \\ &=aT^{a-1}S^{b+2}-bT^{a+1}S^b \end{aligned} \end{equation}$

$b=i+1$ $a=n-i$

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (T^{n - i} S^{i + 1}) & = (n - i) T^{n - i - 1} S^{i + 3} - (i + 1) T^{n - i + 1} S^{i + 1} \\ = (n - i) T^{(n + 1) - (i + 2)} S^{(i + 2) + 1} - (i + 1) T^{(n + 1) - i} S^{i + 1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^{n-i}S^{i+1})&=(n-i)T^{n-i-1}S^{i+3}-(i+1)T^{n-i+1}S^{i+1}\\ &=(n-i)T^{(n+1)-(i+2)}S^{(i+2)+1}-(i+1)T^{(n+1)-i}S^{i+1} \end{aligned} \end{equation}$

$F(n,i)$ $F(n+1,i+2)$ $F(n+1,i)$ $F(n,i)$ $F(n-1,i-2)$ $F(n-1,i)$

F (n, i) = (n - i + 1) F (n - 1, i - 2) - (i + 1) F (n - 1, i)

$F(n,i)=(n-i+1)F(n-1,i-2)-(i+1)F(n-1,i)$

$F(0,0)=1$ $F(0,i)=0$ $i\neq 0$

Powiązana część kodu a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!bjest dokładnie obliczana przy użyciu powyższej formuły rekurencyjnej. Oto podział:

-F(--a,b)                // -F(n-1, i)                  [ a = n-1, b = i   ]
*++b                     // *(i+1)                      [ a = n-1, b = i+1 ]
+F(a,b-=3)               // +F(n-1, i-2)                [ a = n-1, b = i-2 ]
*(a-b)                   // *((n-1)-(i-2))              [ a = n-1, b = i-2 ]
                         // which is equivalent to *(n-i+1)

$T(0)=0$ $S(0)=1$ $E_n$ $S^{n+1}$ $\frac{d^nS}{dt^n}$ $F(n,n)$

$F(0,0)$ $F(n,i)=0$ $i<0$ $i$ $E_n=0$ $n$ $i$ $n$ $0\leq i\leq n$ $i=n+1$ $n-i+1=n-(n+1)+1=0$ $0\leq i\leq n$ $F(n,i)=0$ $i > n$

Rozszerzenia

Kod można zmodyfikować, aby obliczyć trzy kolejne powiązane sekwencje:

Liczby styczne (46 bajtów)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!~b

Secant Numbers (45 bytes)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

Euler Zigzag Numbers (48 bytes)

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):!b+!~b

— Shieru Asakoto
źródło

3

Befunge, 115 bajtów

To po prostu obsługuje zakodowany zestaw pierwszych 16 liczb Eulera (tj. E ₀ do E ₁₅ ). Cokolwiek poza tym i tak nie zmieściłoby się w 32-bitowej wartości Befunge.

&:2%v
v@.0_2/:
_1.@v:-1
v:-1_1-.@
_5.@v:-1
v:-1_"="-.@
_"}$#"*+.@v:-1
8**-.@v:-1_"'PO"
"0h;"3_"A+y^"9*+**.@.-*8+*:*

Wypróbuj online!

Zrobiłem również pełną implementację formuły podanej w wyzwaniu, ale jest ona prawie dwa razy większa i nadal jest ograniczona do pierwszych 16 wartości w TIO, nawet jeśli jest to 64-bitowy interpreter.

<v0p00+1&
v>1:>10p\00:>20p\>010g20g2*-00g1>-:30pv>\:
_$12 0g2%2*-*10g20g110g20g-240pv^1g03:_^*
>-#1:_!>\#<:#*_$40g:1-40p!#v_*\>0\0
@.$_^#`g00:<|!`g01::+1\+*/\<
+4%1-*/+\2+^>$$10g::2>\#<1#*-#2:#\_$*\1

Wypróbuj online!

Problem z tym algorytmem polega na tym, że wartości pośrednie w serii przepełniają się znacznie wcześniej niż suma całkowita. W 32-bitowym interpretatorze może obsłużyć tylko pierwsze 10 wartości (tj. E ₀ do E ₉ ). Tłumacze używający bignum powinni jednak działać znacznie lepiej - PyFunge i Befungee mogą obsłużyć co najmniej do E ₃₀ .

— James Holderness
źródło

1

Python2, (sympy rational), 153 bajty

from sympy import *
t=n+2 
print n,re(Add(*map(lambda (k,j):I**(k-2*j-1)*(k-2*j)**(n+1)*binomial(k,j)/(k*2**k),[(c/t+1,c%t) for c in range(0,t**2-t)])))

Jest to bardzo nieoptymalne, ale próbuje użyć podstawowych funkcji sympy i uniknąć zmiennoprzecinkowego. Dzięki @Mego za postawienie mnie na oryginalnej formule wymienionej powyżej. Próbowałem użyć czegoś takiego jak „Połącz dwie pętle” @ xnor z Porad do gry w golfa w Pythonie

— Don Bright
źródło

1

Możesz zrobić import*(usunąć spację między nimi), aby zapisać bajt. Ponadto musisz jakoś wziąć liczbę jako dane wejściowe (fragmenty, które zakładają, że dane wejściowe są zmienne, nie są dozwolone).

— FlipTack,

1

CJam (34 bajty)

{1a{_W%_,,.*0+(+W%\_,,:~.*.+}@*W=}

Demo online, które drukuje litery E (0) do E (19). To anonimowy blok (funkcja).

Implementacja pożycza rekurencję Shieru Akasoto i przepisuje ją w bardziej przyjaznym dla CJam stylu, manipulując jednocześnie całymi wierszami.

Sekcja

{           e# Define a block
  1a        e#   Start with row 0: [1]
  {         e#   Loop...
    _W%     e#     Take a copy and reverse it
    _,,.*   e#     Multiply each element by its position
    0+(+    e#     Pop the 0 from the start and add two 0s to the end
    W%      e#     Reverse again, giving [0 0 (i-1)a_0 (i-2)a_1 ... a_{i-2}]
    \       e#     Go back to the other copy
    _,,:~.* e#     Multiply each element by -1 ... -i
    .+      e#     Add the two arrays
  }         e#
  @*        e#   Bring the input to the top to control the loop count
  W=        e#   Take the last element
}

— Peter Taylor
źródło

1

Wolfram Language (Mathematica) , 47 46 bajtów

Bez użycia specjalnych funkcji:

e@0=1;e@n_:=-n!Sum[e[n-k]/k!/(n-k)!,{k,2,n,2}]

Wypróbuj online!

— rzymski
źródło

0

Aksjomat, 5 bajtów

euler

dla OEIS A122045; to jest 57 bajtów

g(n:NNI):INT==factorial(n)*coefficient(taylor(sech(x)),n)

kod testowy i wyniki

(102) -> [[i,g(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (102)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

(103) -> [[i,euler(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (103)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

— RosLuP
źródło

0

APL (NARS), 42 znaki, 84 bajty

E←{0≥w←⍵:1⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}

Postępuj zgodnie ze wzorem pokazanym w „smls”, test:

ostatni przypadek zwraca jeden duży wymierny wynik, ponieważ wprowadzam 20x (duży wymierny 20/1), a nie 20, jak myślę 20.0 zmiennoprzecinkowy 64-bitowy ...

  E 20x
370371188237525

Byłoby to szybsze, gdyby jedno szybko zwróciło 0, ale byłoby trochę dłuższe (50 znaków):

  E←{0≥w←⍵:1⋄0≠2∣w:0⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}
  E 30x
¯441543893249023104553682821

byłby szybszy, gdyby użył definicji, o której mowa (i miałby nieco więcej 75 znaków):

  f←{0≥⍵:1⋄0≠2∣⍵:0⋄0J1×+/{+/⍵{⍺÷⍨(0J2*-⍺)×(⍵!⍺)×(¯1*⍵)×(⍺-2×⍵)*n}¨0..⍵}¨⍳n←1+⍵}
  f 0
1
  f 1
0
  f 3
0
  f 6
¯61J0 
  f 10
¯50521J¯8.890242766E¯9 
  f 10x
¯50521J0 
  f 20x
370371188237525J0 
  f 30x
¯441543893249023104553682821J0 
  f 40x
14851150718114980017877156781405826684425J0 
  f 400x
290652112822334583927483864434329346014178100708615375725038705263971249271772421890927613982905400870578615922728
  107805634246727371465484012302031163270328101126797841939707163099497536820702479746686714267778811263343861
  344990648676537202541289333151841575657340742634189439612727396128265918519683720901279100496205972446809988
  880945212776281115581267184426274778988681851866851641727953206090552901049158520028722201942987653512716826
  524150450130141785716436856286094614730637618087804268356432570627536028770886829651448516666994497921751407
  121752827492669601130599340120509192817404674513170334607613808215971646794552204048850269569900253391449524
  735072587185797183507854751762384660697046224773187826603393443429017928197076520780169871299768968112010396
  81980247383801787585348828625J0

Wynik powyżej to jedna liczba zespolona, która ma tylko rzeczywistą część.

— RosLuP
źródło

Wyjście liczb Eulera

Zasady

Przypadki testowe

Mathematica, 6 bajtów

J , 10 bajtów

Pari / GP , 32 bajty

Klon, 5 bajtów

Maxima , 5 bajtów / 42 bajty

Mathematica, bez wbudowanego, 18 bajtów

Python 2.7, 46 bajtów

Perl 6 , 78 bajtów

Jak to działa

Maxima, 29 bajtów

JavaScript (Node.js) , 46 45 bajtów

JavaScript (Node.js) , 70 46 bajtów

Wyjaśnienie

Rozszerzenia

Befunge, 115 bajtów

Python2, (sympy rational), 153 bajty

CJam (34 bajty)

Sekcja

Wolfram Language (Mathematica) , 47 46 bajtów

Aksjomat, 5 bajtów

APL (NARS), 42 znaki, 84 bajty