Czy znając liczbę zębów na tarczy, możemy ustalić dokładną średnicę?

Zębatka to wielokąt regularny n-bok, w którym n oznacza liczbę zębów. Długość boku s wielokąta jest odległością od czubka do czubka każdego zęba tarczy.

Wzór na promień wielokąta regularnego jest następujący:

_{(źródło: mathopenref.com )}

Używając zenbike 12,75 mm powyżej dla s , otrzymujemy 107,61 dla promienia lub 215,22 mm dla średnicy, która jest bardzo bliska jego przybliżeniu.

Porównanie dwóch formuł pokazuje, że zgodnie z oczekiwaniami można wyeliminować długość. To pozostawia nam:

1 / sin ( pi / n ) vs. n / pi

W przypadku dużej liczby n terminy te są zbieżne, co powoduje błąd wynoszący zaledwie 0,12 mm, gdy n = 53. Jest nieco większy, gdy n maleje, różni się o 0,64 mm dla n = 11.

Dla wszystkich praktycznych celów użyłbym po prostu s * n / pi , nawet najmniejszy trybik, na jaki się natkniesz, będzie w promieniu milimetra.

Jeśli znasz tylko skok łańcucha (standard dla większości rowerów) i liczbę zębów, możesz w pełni opisać koło (i n-gon) tylko za pomocą środków sworznia . Zrobię co w mojej mocy, aby formuły matematyczne były czytelne z tekstem, ale w pełni opiszę każdy z czterech okręgów / n-gonów:

Pozwolić:

n = liczba zębów

L = skok łańcucha (długość ogniwa) (12,7 mm dla większości rowerów)

Poniżej znajdują się pomiary doliny, górnego wałka i górnego zęba. Należy pamiętać, że wierzchołki zębów mogą się różnić w zależności od producenta i będą się zmieniać przez cały okres użytkowania pierścienia. Alternatywna metoda na dole jest prawdopodobnie najłatwiejszą metodą do uzyskania odstępu między ramami.

Ponieważ wiesz, że skok łańcucha (1/2 "lub 12,7 mm to łańcuch z serii 40 zwykle stosowany w rowerze), sworznie łańcucha będą tworzyć regularny n-gon (wielokąt z n-bokami o równej długości) , przy czym każda strona jest równa 12,7 mm. Wzór na obwód tego n-gonu jest raczej prosty (poniżej) i byłby odpowiedni dla większości przybliżeń. Pamiętaj, że jest to również równe długości łańcucha, który byłby owinięty wokół pierścień (łańcuch będzie podążał za n-gonem, a nie za kółkiem).

Obwód n-gona wykonany przez środki pinów

Obwód n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Jednak opisywanie okręgu przez środki sworznia nie jest do końca dokładne . Dokładniejsze formuły znajdują się poniżej:

Okrąg przez środki pinów

obwód = pi * L / (sin (180 / n)) = 39,8982 / (sin (180 / n)) mm

promień = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (promień środkowy sworznia)

średnica = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = „pcD” (średnica środkowa sworznia)

Teraz będziemy potrzebować dodatkowych informacji, aby opisać dwa powiązane kręgi / n-gonów:

W przypadku podłóg dolnych i blatów rolkowych musimy znać promień lub średnicę rolki łańcuchowej wokół sworznia. Według http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain łańcuch 40 serii ma średnicę rolki 0,312 "(7,92 mm). Ponieważ odległość od środka sworznia do dna doliny jest promieniem wałek:

Okrąg / n-gon o dnie doliny

rRad = promień rolki (3,96 mm dla większości rowerów)

Obwód n-dna dolin = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Okrąg / n-gon szczytów rolek łańcucha

Obwód n-g blatów = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Teraz, aby opisać ostatni okrąg / n-gon, potrzebujemy wysokości zęba powyżej środka sworznia. Spodziewałbym się, że będzie to pozytywne na nowym pierścieniu łańcuszkowym, a negatywne na zużytym:

Okrąg / n-gon końców zębów

t = wysokość wierzchołka zęba powyżej osi sworznia (ujemna, jeśli poniżej)

Obwód n-gon końców zębów = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternatywnie, aby to obliczenie było nieco łatwiejsze (ale nieco mniej dokładne na zużytym pierścieniu łańcucha), możesz zmierzyć swój indywidualny odstęp między zębami. Idealnie byłyby one nieco dłuższe niż skok łańcucha, ale zmieni się to w miarę zużywania się łańcucha:

Okrąg / n-gon końców zębów - naprzemiennie

t Odstęp = średnia odległość między końcówkami zębów

Obwód n-g końców zębów = n * t Odstęp

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

EDYTOWAĆ:

I napisali to pytanie na math.se i dostał ciekawą odpowiedź , która w zasadzie potwierdza odpowiedź Lantius' jako bardziej dokładnego modelu matematycznego i kopalni jako praktyczne przybliżenie świata rowerowego.

Przy samej liczbie zębów nie.

Ale biorąc pod uwagę liczbę zębów i wymagany odstęp od czubka do czubka każdego zęba, aby dopasować łańcuch do marki zastosowanego pierścienia łańcucha, możesz łatwo określić obwód.

Na podstawie obwodu można łatwo określić średnicę.

Podziel średnicę przez Pi (3,14159 do 5 miejsca po przecinku)

C = D / 3,14159

Więc jeśli liczba zębów wynosi 53, a odstęp wynosi 12,75 mm, mamy obwód 675,75 milimetrów.

675,75 milimetrów podzielonych przez 3,14159 daje średnicę 215,1 milimetra. Przekształcony i zaokrąglony do 2 miejsc, ma 8,46 cala.

Zmierzyłem średnicę 53-zębowego pierścienia Shimano i ma on 8,51 cala. Uważam więc, że moja matematyka powinna być tak dokładna, jak tolerancje w moich pomiarach.